Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax³-2bx²+cx+4d(a、b、c、dÎR)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且x=1時(shí)，f(x)取極小值-．

（1）求a、b、c、d的值；

（2）當(dāng)xÎ[-1，1]時(shí)，圖象上是否存在兩點(diǎn)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直?試證明你的結(jié)論；

（3）若x₁，x₂Î[-1，1]時(shí)，求證：．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）∵ 函數(shù)f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴ 對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f(-x)=-f(x)， ∴ -ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立 ∴ b=0，d=0  ∴ f(x)=ax3+cx，f¢(x)=3ax3+c， ∵ x=11時(shí)，f(x)取極小值-，∴ 3a+c=0且a+c=-，解得a=，c=-1， （2）當(dāng)xÎ[-1，1]時(shí)，圖象上不存在這樣的兩點(diǎn)使結(jié)論成立． 假設(shè)圖象上存在兩點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)，使得過(guò)此兩點(diǎn)處的切線互相垂直， 則由f¢(x)=x2-1，知兩點(diǎn)處的切線斜率分別為k1=-1，k2=-1， 且　　  (*) ∵ x1、x2Î[-1，1]，∴ -1£0，-1£0，∴ (-1)×(-1)³0 此與（*）相矛盾，故假設(shè)不成立． （3）∵ f′(x)=x2-1，令f′(x)=0，得x=±1，∵ xÎ(-¥，-1)， 或xÎ(1，+¥)時(shí)，f′(x)>0；xÎ(-1，1)時(shí)，f′(x)<0， ∴ f(x)在[-1，1]上是減函數(shù)，且fmax(x)=f(-1)=，fmin(x)=f(1)=- ∴ 在[-1，1]上，，于是x1，x2Î[-1，1]時(shí)， 于是x1、x2Î[-1，1]時(shí)，．