Question

9．已知在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，已知橢圓C₀：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為2，離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求橢圓C₀的方程；
（2）若M₀，N₀是橢圓C₀上兩點(diǎn)，且OM₀，ON₀的斜率之積與橢圓C₀的離心率的平方互為相反數(shù)，動點(diǎn)P₁滿足$\overrightarrow{O{P}_{1}}=a\overrightarrow{O{M}_{0}}+b\overrightarrow{O{N}_{0}}$，求動點(diǎn)P₁的軌跡形成的曲線C₁方程；
（3）若M₁，N₁是曲線C₁上兩點(diǎn)，且OM₁，ON₁的斜率之積與橢圓C₀的離心率的平方互為相反數(shù)，動點(diǎn)P₂滿足$\overrightarrow{O{P}_{2}}=a\overrightarrow{O{M}_{1}}+b\overrightarrow{O{N}_{1}}$，寫出動點(diǎn)P₂的軌跡形成的曲線C₂的方程，以此類推寫出動點(diǎn)P_n（n∈N）的軌跡形成的曲線C_n的方程（不要求證明），設(shè)直線l：y=kx+1與曲線C_n交于A_n，B_n兩點(diǎn)，對給定的k，若∠A_nOB_n為鈍角，求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=1，即a²-b²=1，由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解方程，可得a，b，可得橢圓方程；
（2）設(shè)P（x，y），M₀（x₁，y₁），N₀（x₂，y₂），運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合點(diǎn)滿足橢圓方程，運(yùn)用平方法，化簡整理，即可得到所求軌跡方程；
（3）由（2）可得動點(diǎn)P₂的軌跡形成的曲線C₂的方程，即可寫出動點(diǎn)P_n（n∈N）的軌跡形成的曲線C_n的方程；聯(lián)立直線y=kx+1和橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=3ⁿ，消去y，可得x的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，由鈍角可得數(shù)量積小于0，解不等式可得n的范圍．

解答 解：（1）由題意可得c=1，即a²-b²=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得a=$\sqrt{2}$，b=c=1，
可得橢圓C₀的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設(shè)P（x，y），M₀（x₁，y₁），N₀（x₂，y₂），
由$\overrightarrow{OP}$=$\sqrt{2}$$\overrightarrow{O{M}_{0}}$+$\overrightarrow{O{N}_{0}}$=（$\sqrt{2}$x₁+x₂，$\sqrt{2}$y₁+y₂）=（x，y），
即有x=$\sqrt{2}$x₁+x₂，y=$\sqrt{2}$y₁+y₂，平方可得
x²=2x₁²+x₂²+2$\sqrt{2}$x₁x₂，①，y²=2y₁²+y₂²+2$\sqrt{2}$y₁y₂，②
由題意方程可得x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
①+②×2，可得x²+2y²=2（x₁²+2y₁²）+（x₂²+2y₂²）+2$\sqrt{2}$（x₁x₂+2y₁y₂），
即x²+2y²=6+2$\sqrt{2}$（x₁x₂+2y₁y₂），
由OM₀，ON₀的斜率之積與橢圓C₀的離心率的平方互為相反數(shù)，
可得$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{1}{2}$，即為x₁x₂+2y₁y₂=0，
于是，動點(diǎn)P₁的軌跡形成的曲線C₁方程為x²+2y²=6，即為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（3）由（2）可得動點(diǎn)P₂的軌跡形成的曲線C₂的方程為$\frac{{x}^{2}}{18}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
動點(diǎn)P_n（n∈N）的軌跡形成的曲線C_n的方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=3ⁿ（n∈N）；
聯(lián)立直線y=kx+1和橢圓$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=3ⁿ，可得（1+2k²）x²+4kx+2-2•3ⁿ=0，
于是$\overrightarrow{O{A}_{n}}$•$\overrightarrow{O{B}_{n}}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+2）=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1
=（1+k²）（$\frac{2-2•{3}^{n}}{1+2{k}^{2}}$）+k（-$\frac{4k}{1+2{k}^{2}}$）+1＜0，
化為2（1+2k²）（1-3ⁿ）+1-2k²＜0，
即3ⁿ＞$\frac{3}{2（1+{k}^{2}）}$，即為3^n-1＞$\frac{1}{2（1+{k}^{2}）}$，
即有n-1＞log₃$\frac{1}{2（1+{k}^{2}）}$，
即n＞1-log₃2（1+k²），（n∈N）．

點(diǎn)評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用離心率公式，考查向量的坐標(biāo)表示，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，以及直線的斜率公式，向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量為鈍角的條件，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．