Question

(本小題滿分13分)

某化工企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，生產(chǎn)每件產(chǎn)品的成本為3元，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，預(yù)計(jì)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為x元(7≤x≤10)時(shí)，一年的產(chǎn)量為(11 – x)²萬件；若該企業(yè)所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部銷售，則稱該企業(yè)正常生產(chǎn)；但為了保護(hù)環(huán)境，用于污染治理的費(fèi)用與產(chǎn)量成正比，比例系數(shù)為常數(shù)a (1≤a≤3)．

（Ⅰ）求該企業(yè)正常生產(chǎn)一年的利潤(rùn)L (x)與出廠價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；        

（Ⅱ）當(dāng)每件產(chǎn)品的出廠價(jià)定為多少元時(shí)，企業(yè)一年的利潤(rùn)最大，并求最大利潤(rùn)．

Answer 1

L（x）= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]．

 ，每件產(chǎn)品出廠價(jià)為元時(shí)，年利潤(rùn)最大，為(8 – a)³萬元

解析:

（Ⅰ）依題意，L (x) = (x – 3 ) (11 – x)² – a (11 – x)²

= (x – 3 – a) (11 – x)²，x∈[7，10]．  ………………5分

（Ⅱ）因?yàn)?i>L′(x) = (11 – x)² – 2 (x – 3 – a) (11 – x) = (11 – x ) (11 – x – 2x + 6 + 2a)

                = (11 – x )(17 + 2a – 3x)．

由L′(x) = 0，得x = 11[7，10]或x = ．   ………………7分

∵1≤a≤3，∴．

在x = 的兩側(cè)L′(x)由正變負(fù)，    ……………………8分        

故①當(dāng)，即1≤a≤2時(shí)，L′(x)在[7，10]上恒為負(fù)，∴L (x)在[7，10]上為減函數(shù)．

∴[L (x)]_max = L (7) = 16 (4 – a)．    ………………………………10分

②當(dāng)7，即2<a≤3時(shí)，        [L (x)]_max = L ……12分

即1≤a≤2時(shí)，則當(dāng)每件產(chǎn)品出廠價(jià)為7元時(shí)，年利潤(rùn)最大，為16 (4 – a)萬元．當(dāng)2<a≤3時(shí)，則每件產(chǎn)品出廠價(jià)為元時(shí)，年利潤(rùn)最大，為(8 – a)³萬元．  …………13分