Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，當x=﹣1時，函數(shù)f（x）取到最小值，且最小值為0；
（1）求f（x）解析式；
（2）關于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：x=﹣1時，函數(shù)f（x）取到最小值，且最小值為0，

∴﹣ =﹣1，f（﹣1）=a﹣b+1=0，

解得a=1，b=2，

∴f（x）=x2+2x+1

（2）解：f（x）=|x+1|﹣k+3，

∴x2+2x+1=|x+1|﹣k+3，

即（x+1）2=|x+1|﹣k+3，

設|x+1|=t，t≥0，

∴t2﹣t+k﹣3=0，

∵x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，

∴關于t的方程由兩個相等的根或有一個正根，

∴△=1﹣4（k﹣3）=0，或

解得k= ，或k＜3，

故有k的取值范圍為{k|k= ，或k＜3}

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)的對稱軸和函數(shù)的最值，即可求出函數(shù)的解析式，（2）設|x+1|=t，t≥0，得到t2﹣t+k﹣3=0，由x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有兩個不相等的實數(shù)解，得到關于t的方程由兩個相等的根或有一個正根，解得即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數(shù)的性質(zhì)的相關知識，掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減．