Question

6．若函數(shù)f（x）=ax²+6x-4lnx在點M（1，f（1））處的切線方程為y=b．
（1）求a、b的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若對于任意的x∈[1，5]，恒有f（x）≤3ln（$\frac{{e}^{2}}{m}$）+ln（e²m）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意求導f′（x）=2ax+6-$\frac{4}{x}$，從而可得f′（1）=2a+2=0，從而求a，再由b=f（1）求得；
（2）求導并化簡f′（x）=-2x+6-$\frac{4}{x}$=$\frac{-2（x-1）（x-2）}{x}$，由導數(shù)大于0，可得增區(qū)間，導數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（3）由（2）知，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，在[2，5]上單調(diào)遞減；從而可得f_max（x）=f（2）=8-4ln2；從而可得8-4ln2≤3ln（$\frac{{e}^{2}}{m}$）+ln（e²m），運用對數(shù)的運算性質從而解得m的范圍．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+6x-4lnx，
可得f′（x）=2ax+6-$\frac{4}{x}$，
在點M（1，f（1））處的切線斜率為2a+2=0，
解得a=-1，
又b=f（1）=-1+6-0=5；
（2）f（x）=-x²+6x-4lnx，f′（x）=-2x+6-$\frac{4}{x}$=$\frac{-2（x-1）（x-2）}{x}$，
當1＜x＜2時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當x＞2或0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；遞減區(qū)間為（0，1），（2，+∞）；
（3）由（2）知，f（x）在[1，2]上單調(diào)遞增，在[2，5]上單調(diào)遞減；
可得f_max（x）=f（2）=8-4ln2，
故對于任意的x∈[1，5]，恒有f（x）≤3ln（$\frac{{e}^{2}}{m}$）+ln（e²m）成立可化為
8-4ln2≤3ln（$\frac{{e}^{2}}{m}$）+ln（e²m），
即8-4ln2≤3（2-lnm）+2+lnm，
即lnm≤ln4，
解得0＜m≤4．
則m的取值范圍是（0，4]．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，同時考查了導數(shù)的幾何意義的應用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．