【題目】(本小題滿分16分)
在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓: 的離心率,直線過橢圓的右焦點(diǎn),且交橢圓于, 兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知點(diǎn),連結(jié),過點(diǎn)作垂直于軸的直線,設(shè)直線與直線交于點(diǎn),試探索當(dāng)變化時(shí),是否存在一條定直線,使得點(diǎn)恒在直線上?若存在,請(qǐng)求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)(2)點(diǎn)恒在直線上
【解析】試題分析:(1)直線與x軸的交點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),所以由得從而,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)探索性問題,先通過特殊情形探索目標(biāo):令,則根據(jù)對(duì)稱性知滿足題意的定直線只能是.問題轉(zhuǎn)化為證明P,B,D三點(diǎn)共線,可利用斜率相等進(jìn)行證明:設(shè), ,則,從而 ,再利用直線與橢圓方程聯(lián)立方程組得關(guān)于y的一元二次方程,由韋達(dá)定理得與關(guān)系,進(jìn)而得
試題解析:(1)由題設(shè),得解得從而,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 4分
(2)令,則, 或者, .
當(dāng), 時(shí), ;當(dāng), 時(shí), ,
所以,滿足題意的定直線只能是. 6分
下面證明點(diǎn)恒在直線上.
設(shè), ,由于垂直于軸,所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,從而只要證明在直線上. 8分
由得,
,
, .① 10分
∵
, 13分
①式代入上式,得, 所以. 15分
∴點(diǎn)恒在直線上,從而直線、直線與直線三線恒過同一點(diǎn)
, 所以存在一條定直線: 使得點(diǎn)恒在直線上. 16分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)g(x)滿足g(x)=g′(1)ex﹣1﹣g(0)x+ ,且存在實(shí)數(shù)x0使得不等式2m﹣1≥g(x0)成立,則m的取值范圍為( )
A.(﹣∞,2]
B.(﹣∞,3]
C.[1,+∞)
D.[0,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btanA,且B為鈍角.
(1)求B﹣A的值;
(2)求sinA+sinC的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下面有五個(gè)命題:
①函數(shù)y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π;
② =tanα;
③函數(shù)y=sinx+cosx的圖象均關(guān)于點(diǎn)( ,0)成中心對(duì)稱;
④把函數(shù)y=3sin(2x+ )的圖象向右平移 個(gè)單位得到y(tǒng)=3sin2x的圖象.
其中正確命題的編號(hào)是 . (寫出所有正確命題的編號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)已知為實(shí)數(shù),函數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),令,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),令,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù),均存在實(shí)數(shù),有成立,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的最小正周期是π,若將其圖象向右平移 個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)的圖象( )
A.關(guān)于直線x= 對(duì)稱
B.關(guān)于直線x= 對(duì)稱
C.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱
D.關(guān)于點(diǎn)( ,0)對(duì)稱
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若a、b、c是常數(shù),則“a>0且b2﹣4ac<0”是“對(duì)任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,已知角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c,且a2+b2﹣c2= ab.
(1)求角C的大;
(2)如果0<A≤ ,m=2cos2 ﹣sinB﹣1,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】=(sinx,cosx), =(sinx,sinx), =(﹣1,0)
(1)若x= ,求 與 的夾角θ;
(2)若x∈[﹣ , ],f(x)=λ 的最大值為 ,求λ.
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