Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）=

-2x+a

2x+1+2

（a為實(shí)常數(shù)）是奇函數(shù)g（x）=2（x-x²）
（Ⅰ）求a的值，判斷并證明函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）若對(duì)任意的t∈[-1，4]，不等式f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m為實(shí)常數(shù)）都成立，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得f（0）=0，解出即可；設(shè)x₁＜x₂，依據(jù)奇函數(shù)的定義只需利用作差證明f（x₁）＞f（x₂）；
（Ⅱ）先根據(jù)f（x）為奇函數(shù)和減函數(shù)，化簡(jiǎn)得到2（t-t²）-1＞-8t-m，在t∈[-1，4]恒成立，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出h（t）的最大值，問(wèn)題得以解決，

解答： 解：（Ⅰ）∵定義在R上的函數(shù)f（x）=

-2x+a

2x+1+2

（a為實(shí)常數(shù)）是奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
即

-1+a

2+2

=0，
解得a=1，
∴f（x）=

-2x+1

2(2x+1)

=

-(2x+1)+2

2(2x+1)

=-

1

2

+

1

2x+1

，
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=-

1

2

+

1

2x1+1

+

1

2

-

1

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）為R上的減函數(shù)；
（Ⅱ）∵f（g（t）-1）+f（8t+m）＜0（m為實(shí)常數(shù)）都成立，
∴f（g（t）-1）＜-f（8t+m）=f（-8t-m），
∴g（t）-1＞-8t-m，
∴2（t-t²）-1＞-8t-m，在t∈[-1，4]恒成立，
∴m＞t²-9t+1=（t-

9

2

）²-

77

4

在t∈[-1，4]恒成立，
設(shè)h（t）=t²-9t+1=（t-

9

2

）²-

77

4

，
∴h（t）在∈[-1，4]為減函數(shù)，
∴h（t）_nax=h（-1）=1+9+1=11，
∴m＞11，
故m的取值范圍為（11，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)和函數(shù)的單調(diào)性的證明，以及函數(shù)恒成立的問(wèn)題，關(guān)鍵是分離參數(shù)，求出函數(shù)的最值，屬于中檔題