Question

已知橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其中F₂也是拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，且點(diǎn)A（x₀，2）在拋物線上，|AF₂|=2．
（Ⅰ）求橢圓C₁和拋物線C₂的方程；
（Ⅱ）如圖點(diǎn)B位于橢圓短軸的下端點(diǎn)，M，N分別是橢圓和圓x²+y²=1位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線BN的斜率是直線BN斜率的2倍．證明：直線MN過定點(diǎn)并求出其坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件求出x0=2-

p

2

，將A(2-

p

2

，2)代入拋物線y²=2px（p＞0），求出拋物線方程為y²=4x，從而得到F₂（1，0），由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)直線BM：y=kx-1，直線BN：y=2kx-1，由已知條件推導(dǎo)出MN的方程為y=-

1

2k

x+1，由此能證明直線MN過定點(diǎn)（0，1）．

解答： （Ⅰ）解：∵點(diǎn)A（x₀，2）在拋物線y²=2px（p＞0）上，|AF₂|=2．
∴|AF2|=x0+

p

2

=2，解得x0=2-

p

2

，
將A(2-

p

2

，2)代入拋物線y²=2px（p＞0），
解得p=2，…（2分）
∴拋物線方程為y²=4x…（3分）
∵橢圓C：

x2

a2

+y²=1（a＞1）的左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，
其中F₂也是拋物線C₂：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，
∴F₂（1，0），在橢圓中c=1，∴a²=2…（4分）
∴橢圓方程為

x2

2

+y2=1． …（6分）
（Ⅱ）證明：設(shè)BN的斜率為k，則直線BN的斜率為2k，
又兩直線均過定點(diǎn)B（0，-1），
設(shè)直線BM：y=kx-1，直線BN：y=2kx-1…（7分）
由

y=kx-1 x2+2y2=2

，得方程（1+2k²）x²-4kx=0，
xM=

4k

2k2+1

，yM=

2k2-1

2k2+1

…（8分）
同理由

y=2kx-1 x2+y2=1

，得方程（1+4k²）x²-4kx=0，
xN=

4k

2k2+1

，yN=

4k2-1

2k2+1

．…（9分）
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=-

1

2k

…（11分）
∴MN的方程為y-

2k2-1

2k2+1

=-

1

2k

(x-

4k

2k2+1

)，
化簡(jiǎn)得：y=-

1

2k

x+1
∴直線MN過定點(diǎn)（0，1）…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的拋物線方程的求法，考查直線過定點(diǎn)的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．