Question

在R上定義運(yùn)算：x*y=（1-x）y，若不等式（x-y）*（x+y）＜1對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)y的取值集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得，（x-y）*（x+y）=（x-y）（1-x-y）＜1對(duì)于任意的x都成立，即y²-y＜x²-x+1對(duì)于任意的x都成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²-x+1，只要y²-y＜g（x）_min即可．

解答： 解：由題意可得，（x-y）*（x+y）=（x-y）（1-x-y）＜1對(duì)于任意的x都成立，
即y²-y＜x²-x+1對(duì)于任意的x都成立，
設(shè)g（x）=x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

，
所以，g（x） _min=

3

4

，
所以y²-y＜

3

4

，
所以-

1

2

＜y＜

3

2

，
所以實(shí)數(shù)y的取值范圍是（-

1

2

，

3

2

）．
故答案為：（-

1

2

，

3

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題以新定義為載體考查了函數(shù)的恒成立問題的求解，解題的關(guān)鍵是把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．