Question

如圖所示，⊙P的圓心在直線y=x上，且與直線x+2y-1=0相切，這個圓截y軸的正半軸所得的弦AB長為2，求此圓的方程．

Answer 1

分析：由⊙P的圓心在直線y=x上及半徑r，設(shè)出圓方程，根據(jù)圓與直線x+2y-1=0相切，得到圓心到切線的距離d=r，根據(jù)圓截y軸的正半軸所得的弦AB長為2，利用垂徑定理及勾股定理列出關(guān)系式，聯(lián)立求出a與r的值，確定出圓心P與半徑r，寫出圓方程即可．

解答：解：由⊙P的圓心在直線y=x上，設(shè)此圓的方程為（x-a）²+（y-a）²=r²（a＞0），
∵⊙P與直線x+2y-1=0相切，圓截y軸的正半軸所得的弦AB長為2，
∴

|3a-1|

5

=r，且a²+（

|AB|

2

）²=r²，即a²+1=

(3a-1)2

5

，
整理得：（2a+1）（a-2）=0，
又a＞0，∴a=2，r=

5

，
∴⊙P的方程為（x-2）²+（y-2）²=5．

點評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．