Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，如圖，已知橢圓C：的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P在橢圓C上且異于點(diǎn)A、B，直線(xiàn)AP、PB與直線(xiàn)l：y＝－2分別交于點(diǎn)M、N.

（1）設(shè)直線(xiàn)AP、PB的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁·k₂為定值；

（2）求線(xiàn)段MN長(zhǎng)的最小值；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

 

Answer 1

【答案】

（1）k₁·k₂＝.＝＝－（2）MN長(zhǎng)的最小值是4.

（3）為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（或點(diǎn)）

【解析】

試題分析：解：（1）由題設(shè)可知，點(diǎn)A(0，1)，B(0，－1).

令P(x₀，y₀)，則由題設(shè)可知x₀≠0.

所以，直線(xiàn)AP的斜率k₁＝，PB的斜率為k₂＝.           2分

又點(diǎn)P在橢圓上，所以（x₀≠0），從而有

k₁·k₂＝.＝＝－.                             4分

（2）由題設(shè)可以得到直線(xiàn)AP的方程為y－1＝k₁(x－0)，直線(xiàn)PB的方程為

y－(－1)＝k₂(x－0).

由，解得；

由，解得.

所以，直線(xiàn)AP與直線(xiàn)l的交點(diǎn)，直線(xiàn)PB與直線(xiàn)l的交點(diǎn).

7分

于是，又k₁·k₂＝－，所以

≥2＝4，

等號(hào)成立的條件是，解得.

故線(xiàn)段MN長(zhǎng)的最小值是4.                                      10分

（3）設(shè)點(diǎn)Q(x,y)是以MN為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則＝0，故有.

又，所以以MN為直徑的圓的方程為

.                           13分

令，解得或.

所以，以為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)（或點(diǎn)）．16分

注：寫(xiě)出一點(diǎn)的坐標(biāo)即可得分.

考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng):研究直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，并結(jié)合向量的知識(shí)來(lái)處理，圓過(guò)定點(diǎn)的問(wèn)題，利用數(shù)量積為零，屬于基礎(chǔ)題。