【題目】已知橢圓 ，直線不過原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸， 與有兩

個(gè)交點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.

（1）若，點(diǎn)K在橢圓上， 、分別為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的范圍；

（2）證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；

（3）若過點(diǎn)，射線OM與交于點(diǎn)P，四邊形能否為平行四邊形？

若能，求此時(shí)的斜率；若不能，說明理由．

【答案】(1) (2)見解析(3) 當(dāng)的斜率為或時(shí)，四邊形為平行四邊形

【解析】試題分析： 將代入，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，給出的表達(dá)式，消元求出范圍

聯(lián)立直線方程和橢圓方程化簡得到，求出， 的值，求出對(duì)應(yīng)的直線斜率即可得到結(jié)論

四邊形為平行四邊形，當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即，建立方程關(guān)系即可得到結(jié)論

解析：（1）橢圓，兩個(gè)焦點(diǎn)、，設(shè)

所以

由于，所以，

由橢圓性質(zhì)可知，所以

（2）設(shè)直線（），， ， ，

所以為方程的兩根，化簡得，

所以， .

，所以直線的斜率與的斜率的乘積等于為定值.

（3）∵直線過點(diǎn)，∴ 不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是， ．

設(shè) 設(shè)直線（），即.

由（2）的結(jié)論可知，代入橢圓方程得

由（2）的過程得中點(diǎn)，

若四邊形為平行四邊形，那么M也是OP的中點(diǎn)，所以，

得，解得

所以當(dāng)的斜率為或時(shí)，四邊形為平行四邊形．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，底面是邊長為的正方形ABCD，AC與BD的交點(diǎn)為O，平面ABCD且，E是邊BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在四棱錐表面上運(yùn)動(dòng)，并且總保持，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長為( )

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知直線且.圓C與直線相切于點(diǎn)A，且點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為，圓心C在直線上.

（1）求直線之間的距離；

（2）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（3）若直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓C交于兩點(diǎn)，當(dāng)△CPQ的面積最大時(shí)，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E是棱AB上的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證： ；

（2）若直線與平面所成的角是45，請(qǐng)你確定點(diǎn)E的位置，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某班共有學(xué)生45人，其中女生18人，現(xiàn)用分層抽樣的方法，從男、女學(xué)生中各抽取若干學(xué)生進(jìn)行演講比賽，有關(guān)數(shù)據(jù)見下表（單位：人）

性別

學(xué)生人數(shù)

抽取人數(shù)

女生

18

男生

3

（1）求和；

（2）若從抽取的學(xué)生中再選2人做專題演講，求這2人都是男生的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年來鄭州空氣污染較為嚴(yán)重，現(xiàn)隨機(jī)抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣中指數(shù)的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕微污染

輕度污染

中度污染

中度重污染

重度污染

天數(shù)

4

13

18

30

9

11

15

記某企業(yè)每天由空氣污染造成的經(jīng)濟(jì)損失為（單位：元），指數(shù)為．當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)沒有造成經(jīng)濟(jì)損失；當(dāng)在區(qū)間內(nèi)時(shí)對(duì)企業(yè)造成經(jīng)濟(jì)損失成直線模型（當(dāng)指數(shù)為150時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為500元，當(dāng)指數(shù)為200時(shí)，造成的經(jīng)濟(jì)損失為700元）；當(dāng)指數(shù)大于300時(shí)造成的經(jīng)濟(jì)損失為2000元．

（1）試寫出的表達(dá)式；

（2）試估計(jì)在本年內(nèi)隨機(jī)抽取一天，該天經(jīng)濟(jì)損失大于500元且不超過900元的概率；

（3）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有8天為重度污染，完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為鄭州市本年度空氣重度污染與供暖有關(guān)？

附：

0.25

0.15

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

1.32

2.07

2.70

3.74

5.02

6.63

7.87

10.828

，其中．

非重度污染

重度污染

合計(jì)

供暖季

非供暖季

合計(jì)

100

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩家銷售公司擬各招聘一名產(chǎn)品推銷員，日工資方案如下: 甲公司規(guī)定底薪80元，每銷售一件產(chǎn)品提成1元; 乙公司規(guī)定底薪120元，日銷售量不超過45件沒有提成，超過45件的部分每件提成8元.

(I)請(qǐng)將兩家公司各一名推銷員的日工資 (單位: 元) 分別表示為日銷售件數(shù)的函數(shù)關(guān)系式;

(II)從兩家公司各隨機(jī)選取一名推銷員，對(duì)他們過去100天的銷售情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下條形圖。若記甲公司該推銷員的日工資為,乙公司該推銷員的日工資為 (單位: 元)，將該頻率視為概率，請(qǐng)回答下面問題:

某大學(xué)畢業(yè)生擬到兩家公司中的一家應(yīng)聘推銷員工作，如果僅從日均收入的角度考慮，請(qǐng)你利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)為他作出選擇，并說明理由.

【答案】(I)見解析； (Ⅱ)見解析.

【解析】分析：(I)依題意可得甲公司一名推銷員的工資與銷售件數(shù)的關(guān)系是一次函數(shù)的關(guān)系式，而乙公司是分段函數(shù)的關(guān)系式，由此解得；(Ⅱ)分別根據(jù)條形圖求得甲、乙公司一名推銷員的日工資的分布列，從而可分別求得數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而可得結(jié)論.

詳解：(I)由題意得,甲公司一名推銷員的日工資 (單位:元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為: .

乙公司一名推銷員的日工資 (單位: 元) 與銷售件數(shù)的關(guān)系式為:

(Ⅱ)記甲公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為

122

124

126

128

130

0.2

0.4

0.2

0.1

0.1

記乙公司一名推銷員的日工資為 (單位: 元),由條形圖可得的分布列為

120

128

144

160

0.2

0.3

0.4

0.1

∴

∴僅從日均收入的角度考慮，我會(huì)選擇去乙公司.

點(diǎn)睛：求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：

第一步是“判斷取值”，即判斷隨機(jī)變量的所有可能取值，以及取每個(gè)值所表示的意義；

第二步是“探求概率”，即利用排列組合，枚舉法，概率公式，求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率；

第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)所求的分布列或某事件的概率是否正確；

第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值

【題型】解答題
【結(jié)束】
19

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形， 平面， ， ， ， 分別是， 的中點(diǎn).

（1）證明： ；

（2）設(shè)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，若線段長的最小值為，求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】近年電子商務(wù)蓬勃發(fā)展， 年某網(wǎng)購平臺(tái)“雙”一天的銷售業(yè)績高達(dá)億元人民幣，平臺(tái)對(duì)每次成功交易都有針對(duì)商品和快遞是否滿意的評(píng)價(jià)系統(tǒng).從該評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，網(wǎng)購者對(duì)商品的滿意率為，對(duì)快遞的滿意率為，其中對(duì)商品和快遞都滿意的交易為次.

（1）根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表，并回答能否有的把握認(rèn)為“網(wǎng)購者對(duì)商品滿意與對(duì)快遞滿意之間有關(guān)系”？

對(duì)快遞滿意

對(duì)快遞不滿意

合計(jì)

對(duì)商品滿意

對(duì)商品不滿意

合計(jì)

（2）為進(jìn)一步提高購物者的滿意度，平臺(tái)按分層抽樣方法從中抽取次交易進(jìn)行問卷調(diào)查，詳細(xì)了解滿意與否的具體原因，并在這次交易中再隨機(jī)抽取次進(jìn)行電話回訪，聽取購物者意見.求電話回訪的次交易至少有一次對(duì)商品和快遞都滿意的概率.

附： （其中為樣本容量）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的棱形，PD⊥底面ABCD.

（1）證明：AC⊥平面PBD；

（2）若PD=AD，直線PB與平面ABCD所成的角為45°，四棱錐P—ABCD的體積為，求a的值.

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同步練習(xí)冊(cè)答案