Question

13．將函數(shù)f（x）=2sin（3x+φ）（-π＜φ＜π）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，且對任意的x∈R有g(shù)（x）+g（$\frac{π}{4}$）≥0，則g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�

• A． [$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z
• B． [$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z
• C． [$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• D． [$\frac{4kπ}{3}$-$\frac{5π}{12}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z

Answer 1

分析 由條件利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得g（x）的增區(qū)間．

解答 解：將函數(shù)f（x）=2sin（3x+φ）（-π＜φ＜π）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），
得到函數(shù)g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+φ）的圖象，
由于對任意的x∈R有g(shù)（x）+g（$\frac{π}{4}$）≥0，即2sin（$\frac{3}{2}$x+φ）≥-g（$\frac{π}{4}$），
故g（$\frac{π}{4}$）為函數(shù)g（x）的最大值，∴g（$\frac{π}{4}$）=2，∴$\frac{3π}{8}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得φ=$\frac{π}{8}$，
∴g（x）=2sin（$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{8}$）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3}{2}$x+$\frac{π}{8}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{4}{3}$kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，
則g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{4}{3}$kπ-$\frac{5π}{12}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z，
故選：D．

點評 本題主要考查y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．