Question

(本小題滿分13分)

給出定義在(0，＋∞)上的三個函數(shù)：，，，已知在x＝1處取極值.

（Ⅰ）確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性；

（Ⅱ）求證：當時，恒有成立；

（Ⅲ）把函數(shù)h(x)的圖象向上平移6個單位得到函數(shù)h₁(x)的圖象，試確定函數(shù)y＝g(x)－h₁(x)的零點個數(shù)，并說明理由.

Answer 1

（1）h(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)，在(0，1)上是減函數(shù)（2）見解析（3）見解析

解析:

（Ⅰ）由題設(shè)，，則.             （1分）

由已知，，即.                      （2分）

于是，則.                      （3分）

由，所以h(x)在(1，+∞)上是增函數(shù)，在(0，1)上是減函數(shù).（4分）

（Ⅱ）當時，，即.                     （5分）

欲證，只需證，即證.   （6分）

設(shè)，

則.

當時，，所以在區(qū)間(1，e²)上為增函數(shù).           （7分）

從而當時，，即，故.    （8分）

（Ⅲ）由題設(shè)，.令，則

，即.                     （9分）

設(shè)，，則

，由，得x＞4.

所以在(4，＋∞)上是增函數(shù)，在(0，4)上是減函數(shù).                        

又在(0，)上是增函數(shù)，在(，＋∞)上是減函數(shù).

因為當x→0時，，.

又，，，

，則函數(shù)與的大致圖象如下：                    （12分）

 

由圖可知，當x＞0時，兩個函數(shù)圖象有2個交點，故函數(shù)y＝g(x)－h₁(x)有2個零點.（13分）