Question

4．已知函數$f（x）=\frac{a}{x}+（{1-a}）x$（其中a為非零實數），且方程$xf（{\frac{1}{x}}）=4x-3$有且僅有一個實數根．
（Ⅰ）求實數a的值；
（Ⅱ）證明：函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據二次函數的性質得到△=0，求出a的值即可；（Ⅱ）根據函數單調性的定義證明函數的單調性即可．

解答 解：（Ⅰ）由$xf（{\frac{1}{x}}）=4x-3$，得$x（{ax+\frac{1-a}{x}}）=4x-3$，
又a≠0，即二次方程ax²-4x+4-a=0有且僅有一個實數根（且該實數根非零），
所以△=（-4）²-4a（4-a）=0，
解得a=2（此時實數根非零）．   
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函數解析式$f（x）=\frac{2}{x}-x$，
任取0＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）
=$\frac{{2（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}+（{x_2}-{x_1}）$
=$（{x_2}-{x_1}）•\frac{{（{2+{x_1}{x_2}}）}}{{{x_1}{x_2}}}$，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，2+x₁x₂＞0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴函數f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調遞減．

點評 本題考查了函數的單調性的證明，考查二次函數的性質，是一道中檔題．