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9.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)滿足(x-314)f(2x)-2xf′(2x)>0恒成立,求證:?x∈R,f(x)<0.

分析 構(gòu)造函數(shù)g(x)=x314f2xex,求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式,求出函數(shù)的最大值小于0,從而證出結(jié)論.

解答 證明:令g(x)=x314f2xex,
則g′(x)=x313[x314f2x2xf2x]ex,
∵(x-314)f(2x)-2xf′(2x)>0恒成立,
故令g′(x)>0,解得:x<0,令g′(x)<0,解得:x>0,
∴g(x)在(-∞,0)遞增,在(0,+∞)遞減,
∴g(x)<g(0)=0.

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,構(gòu)造函數(shù)g(x)是解題的關(guān)鍵,本題是一道中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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15.已知sin(\frac{π}{2}+α)=\frac{1}{4},則cos2α=( �。�
A.-\frac{7}{8}B.\frac{7}{8}C.\frac{7}{8}-\frac{7}{8}D.\frac{{\sqrt{15}}}{4}

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20.復(fù)數(shù)z=(2-i)×i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( �。�
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

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17.在平面直角坐標(biāo)系中,點A的坐標(biāo)為(2,3),點B的坐標(biāo)為(-1,-1),將直角坐標(biāo)平面沿x軸折成直二面角,則A,B兩點間的距離為\sqrt{19}

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4.如圖,在三棱錐A-BCD中,O是BC中點,AO⊥平面BCD,CD⊥BD,∠BCD=\frac{π}{6},BC=2,OA=\sqrt{2},CE=3ED,F(xiàn)是OA的中點.
(I)證明:EF∥平面ABD;
(Ⅱ)直線AC上是否存在點M,使得DM與平面ABC所成角的余弦值為\frac{\sqrt{6}}{3},若存在,確定點M的位置,若不存在,試說明理由.

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14.已知極坐標(biāo)系的極點與直角坐標(biāo)系的原點重合,極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合,若曲線C的參數(shù)方程為\left\{\begin{array}{l}{x=3+2cosα}\\{y=2sinα}\end{array}\right.(α是參數(shù)),直線l的極坐標(biāo)方程為\sqrt{2}ρsin(θ-\frac{π}{4})=1.
(1)將曲線C的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程;
(2)由直線l上一點向曲線C引切線,求切線長的最小值.

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1.極坐標(biāo)系中,O為極點,點A為直線l:ρsinθ=ρcosθ+2上一點,則|OA|的最小值為\sqrt{2}

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18.如圖所示,已知圓O1與圓O2相交于A,B兩點,過點A作圓O1的切線交圓O2于點C,過點B作兩圓的割線,分別交圓O1,圓O2于點D,E,DE與AC相交于點P.
(1)求證:AD∥EC;
(2)若AD是圓O2的切線,且PA=3,PC=1,AD=6,求DB的長.

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19.已知一個球的體積為\frac{4}{3}π,則該球的表面積為(  )
A.πB.C.D.

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