Question

設數列a_n、b_n、c_n的前n項和分別為S_n、T_n、R_n，對?n∈N*，a_n=5S_n+1，，c_n=b_2n-b_2n-1．
①求a_n的通項公式；
②求證：；
③若T_n＜λn，對?n∈N^*恒成立，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，．n＞1時，a_n-1=5S_n-1+1，
兩式相減得a_n-a_n-1=5（S_n-S_n-1）=5a_n，，
所以．
②，
，
，
從而．
③由T_n＜λn得，，
若n=2k-1（k∈N^*）是奇數，
則T_n≥4n-1，當且僅當λ≥4；
若n=2k（k∈N^*）是偶數，，
T_n＜4n，即當λ≥4時有T_n＜λn．
綜上所述，λ的取值范圍是[4，+∞）．
分析：①由a_n=5S_n+1得a₁=5S₁+1=5a₁+1，．n＞1時，a_n-1=5S_n-1+1，由此能求出a_n．
②，，，由此能夠證明．
③由T_n＜λn得，，由此進行分類討論能夠得到λ的取值范圍是．
點評：多個數列通常意味著多種形式的數列、多層次問題，解題通常需要有開闊的視野和思路，能適當選擇、適時轉換，關鍵是用等差等比數列性質處理好“起始”數列，不等式的處理則要求適度“放大”或“縮小”，處理好端點．