Question

設(shè)A、B是橢圓3x²+y²=λ上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點．
（1）確定λ的取值范圍，并求直線AB的方程；
（2）求以線段CD的中點M為圓心且與直線AB相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）可設(shè)直線AB的方程為 y=k（x-1）+3，代入 橢圓3x²+y²=λ，可得 x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

，再由線段的中點公式求出 k=1，于是求得直線AB的方程．
 （2）用點斜式求得直線CD的方程為  x-y+2=0，代入橢圓方程，整理得 4x²+4x+4-λ=0  ③，利用根與系數(shù)的關(guān)系和中點公式求得 M（-

1

2

，

3

2

  ），再求得M（-

1

2

，

3

2

  ）到直線AB的距離 d，即可得到圓的標準方程．

解答：解：（1）依題意，顯然直線AB的斜率存在，可設(shè)直線AB的方程為 y=k（x-1）+3，
代入 橢圓3x²+y²=λ，整理得 （k²+3 ） x²-2k（k-3）x+（k-3）²-λ=0     ①
設(shè) A （ x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），則 x₁，x₂  是方程①的兩個不同的根，
∴△=4k² （k-3）²-4 （k²+3 ）[（k-3）²-λ]＞0  ②，且 x₁+x₂=

2k(k-3)

k2+3

．
由N（1，3）是線段AB的中點，得

x1 +x2

2

=1，∴k（k-3）=k²+3，∴k=-1．
代和②得 λ＞12，即 λ 的取值范圍是（12，+∞），于是直線AB的方程為 y-3=-（x-1），
即 x+y-4=0．
（2）∵CD垂直平分線段AB，∴直線CD的方程為 y-3=x-1，即 x-y+2=0，
代入橢圓方程，整理得 4x²+4x+4-λ=0     ③．
設(shè) C（x₃，y₃ ），D  （x₄，y₄ ），CD的中點為 M（x₀，y₀ ），則 x₃，x₄ 是方程③的兩根，
∴x₃+x₄=-1，∴x₀=

x1 +x2

2

=-

1

2

，y₀=x₀+1=

3

2

，即 M（-

1

2

，

3

2

  ）．
又 M（-

1

2

，

3

2

  ）到直線AB的距離 d=

|- 1 2 + 3 2 -4|

2

=

3 2

2

，
故所求圓的方程為 (x+

1

2

)2+(y-

3

2

)2=

9

2

．

點評：本題考查直線和圓的位置關(guān)系，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段的中點公式的應(yīng)用，求出點M的坐標是解題的難點．