分析 (Ⅰ)設(shè)AB1與A1B相交于點P,連接PD,則PD∥B1C,由此能證明B1C∥平面A1BD.
(Ⅱ)取AB中點為O,A1B1中點為E,以O(shè)為原點OA為x軸,OE為y軸,OC為z軸,建立空間直角坐標系O-xyz.利用向量法能求出二面角A-A1B-D的余弦值.
解答 證明:(Ⅰ)設(shè)AB1與A1B相交于點P,連接PD,則P為AB1中點,
∵D為AC中點,∴PD∥B1C,
又∵PD?平面A1BD,
∴B1C∥平面A1BD…(5分)
解:(Ⅱ)取AB中點為O,A1B1中點為E點,由于△ABC為等邊三角形所以CO⊥AB,
又因為是正三棱柱,所以平面ABCC,且平面ABC⋂平面ABB1A1=AB,
則CD⊥平面ABB1A1
以O(shè)為原點OA為x軸,OE為y軸,OC為z軸,建立空間直角坐標系O-xyz.
\begin{array}{l}顯然平面AB{B_1}{A_1}的法向量為\overrightarrow m=(0,0,1),\\ 設(shè)平面{A_1}BD的法向量為\overrightarrow n=(x,y,z),\\ \overrightarrow{B{A_1}}=(2,\sqrt{3},0),\overrightarrow{BD}=(\frac{3}{2},0,\frac{{\sqrt{3}}}{2}),\\ \left\{{\begin{array}{l}{\overrightarrow n•\overrightarrow{B{A_1}}=0}\\{\overrightarrow n•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}}\right.\\ \overrightarrow n=({\sqrt{3},-2,3})\\ cos<\overrightarrow m,\overrightarrow n>=\frac{3}{4}\end{array}
所求二面角A-A1B-D的余弦值為\frac{3}{4}…(12分)
點評 本題考查線面平行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.
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A. | y=-\frac{3}{4} | B. | x=-\frac{3}{4} | C. | y=-\frac{1}{12} | D. | x=-\frac{1}{12} |
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A. | 0個 | B. | 1個 | C. | 2個 | D. | 3個 |
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A. | \frac{1}{16π} | B. | \frac{1}{4π} | C. | \frac{1}{4} | D. | \frac{1}{16} |
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