如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線(xiàn)段AD上,OA=1,OD=2,△OAB,△OAC,△ODE,△ODF都是正三角形.

(1)證明直線(xiàn)BC∥EF;
(2)求棱錐FOBED的體積.

（1）見(jiàn)解析  （2）

解析(1)證明:如圖所示,設(shè)G是線(xiàn)段DA延長(zhǎng)線(xiàn)與線(xiàn)段EB延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn).由于△OAB與△ODE都是正三角形,且OD=2,

所以O(shè)BDE,
OG=OD=2.
同理,設(shè)G′是線(xiàn)段DA延長(zhǎng)線(xiàn)與線(xiàn)段FC延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn),有OCDF,OG′=OD=2.
又由于G和G′都在線(xiàn)段DA的延長(zhǎng)線(xiàn)上,
所以G與G′重合.
在△GED和△GFD中,
由OBDE和OCDF,
可知B、C分別是GE和GF的中點(diǎn),
所以BC是△GEF的中位線(xiàn),故BC∥EF.
(2)解:由OB=1,OE=2,∠EOB=60°,
知S△OBE=,
而△OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形,
故S△OED=.
所以S四邊形OBED=S△OBE+S△OED=.
過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AD,交AD于點(diǎn)Q,
由平面ABED⊥平面ACFD知,FQ就是四棱錐FOBED的高,且FQ=,
所以=FQ·S四邊形OBED=.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O為底面中心, A1O⊥平面ABCD, .

（1）證明: A1BD // 平面CD1B1;
（2）求三棱柱ABD－A1B1D1的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面,AC=BC,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)．

(1)求證：BC1∥平面CA1D；
(2)求證：平面CA1D⊥平面AA1B1B；
(3)若底面ABC為邊長(zhǎng)為2的正三角形，BB1=求三棱錐B1-A1DC的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知直角梯形,，，沿折疊成三棱錐，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，求此時(shí)三棱錐外接球的體積

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是2、6，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和。
（1）求該圓臺(tái)的母線(xiàn)長(zhǎng)；（2）求該圓臺(tái)的體積。

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2。

(1)求證：CE∥平面PAB;
(2)求四面體PACE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖①所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD為∠ACB的平分線(xiàn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，CE＝4.如圖②所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結(jié)AB，設(shè)點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)．
圖①圖②
(1)求證：DE⊥平面BCD；
(2)若EF∥平面BDG，其中G為直線(xiàn)AC與平面BDG的交點(diǎn)，求三棱錐B-DEG的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示的多面體中，是菱形，是矩形，面,．

(1)求證：平；
(2)若，求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖所示是一幾何體的直觀(guān)圖、正(主)視圖、側(cè)(左)視圖、俯視圖．

(1)若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF⊥面PCD；
(2)求幾何體BEC－APD的體積．

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