15．函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，若關(guān)于x的方程f[f（x）]+k=0恰有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根x1，x2，則x1+x2的最大值為（　　）
A．-$\frac{1}{2}+ln2$B．$\frac{1}{2}-ln2$C．-1+ln2D．1+ln2

分析 可判斷f（x）＞0恒成立；從而化簡(jiǎn)方程為f（x）=ln（-k）；從而作圖輔助，可知存在實(shí)數(shù)a（a≥1），使-2x1=a=e${\;}^{{x}_{2}}$，從而可得x1+x2=-$\frac{a}{2}$+lna，再構(gòu)造函數(shù)g（a）=-$\frac{a}{2}$+lna，求導(dǎo)g′（a）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{2-a}{2a}$，從而確定最值．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，∴f（x）＞0恒成立；
∴f[f（x）]=ef（x），
∵f[f（x）]+k=0，
∴ef（x）+k=0，即f（x）=ln（-k）；
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$與y=ln（-k）的圖象如下，，
結(jié)合圖象可知，存在實(shí)數(shù)a（a≥1），使-2x1=a=e${\;}^{{x}_{2}}$，
故x1+x2=-$\frac{a}{2}$+lna，
令g（a）=-$\frac{a}{2}$+lna，則g′（a）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{a}$=$\frac{2-a}{2a}$，
故當(dāng)a=2時(shí)，x1+x2有最大值-1+ln2；
故選C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及最值問題，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合的思想及轉(zhuǎn)化構(gòu)造的方法．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

13．將函數(shù)f（x）=2sin（3x+φ）（-π＜φ＜π）的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變）得到函數(shù)g（x）的圖象，且對(duì)任意的x∈R有g(shù)（x）+g（$\frac{π}{4}$）≥0，則g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　�。�
A．[$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{5π}{12}$]，k∈ZB．[$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z
C．[$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{11π}{12}$]，k∈ZD．[$\frac{4kπ}{3}$-$\frac{5π}{12}$，$\frac{4kπ}{3}$+$\frac{π}{4}$]，k∈Z

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

6．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}\;，\;x＜1\;，\;}\\{{{log}_2}x\;，\;x≥1\;，\;}\end{array}}\right.$若直線y=m與函數(shù)f（x）的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥2或m=0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．f（x）=$\frac{2x+1}{x-a}$在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（$-\frac{1}{2}$，1]．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

10．△ABC中，AB=1，AC=2．
（1）若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$，求△ABC外接圓面積；
（2）若∠BAC的平分線交BC于D，且AD=$\frac{2}{3}$，求sin（B-C）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．已知x1，x2（x1＜x2）是方程4x2-4kx-1=0（k∈R）的兩個(gè)不等實(shí)根，函數(shù)f（x）=$\frac{2x-k}{{x}^{2}+1}$的定義域?yàn)閇x1，x2]，g（k）=f（x）min-f（x）max，若對(duì)任意k∈R，恒有g(shù)（k）≤a$\sqrt{1+{k}^{2}}$成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥-1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．已知函數(shù)$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+\frac{1}{2}，x∈[0，\frac{1}{2}）}\\{{2^{x-1}}，x∈[\frac{1}{2}，2）}\end{array}}\right.$，若存在x1，x2，當(dāng)0≤x1＜x2＜2時(shí)，f（x1）=f（x2），則x1f（x2）-f（x2）的取值范圍為（　　）
A．$（0，\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}）$B．$[-\frac{9}{16}，\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}）$C．$[\frac{{2-3\sqrt{2}}}{4}，-\frac{1}{2}）$D．$[-\frac{9}{16}，-\frac{1}{2}）$

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

4．設(shè)集合M={x|$\frac{1}{2}≤x＜3$}，函數(shù)f（x）=ln（1-$\sqrt{x}$）的定義域?yàn)镹，則M∩N為（　�。�
A．[$\frac{1}{2}$，1]B．[$\frac{1}{2}$，1）C．（0，$\frac{1}{2}$]D．（0，$\frac{1}{2}$）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

5．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在曲線y=$\frac{2}{x}$上運(yùn)動(dòng)，則|z|的最小值為2．

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