已知函數(shù)f（x）=loga（1-x）+loga（1+x）（a＞0，a≠1）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調性．

解：（1）由函數(shù)f（x）=loga（1-x）+loga（1+x）（a＞0，a≠1），可得 ，解得-1＜x＜1，
故函數(shù)的定義域為 （-1，1）．
（2）由于函數(shù)f（x）=loga（1-x2），且定義域關于原點對稱、滿足f（-x）=f（x），故函數(shù)為偶函數(shù)．
①當a＞1時，設x2＞x1＞0，則 ＞＞0，故 0＜1-＜1-，故loga（1-）＜loga（1-），
即f（x2）＜f（x1），故函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)．
再由偶函數(shù)的圖象關于原點對稱，可得函數(shù)在（-1，0）上是增函數(shù)．
同理可證，當0＜a＜1時，函數(shù)在（-1，0）上是減函數(shù)，函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)f（x）的解析式可得 ，解得x的范圍，可得函數(shù)的定義域．
（2）先判斷函數(shù)為偶函數(shù)，當a＞1時，利用函數(shù)的單調性的定義證明函數(shù)在（0，1）上是減函數(shù)，再由偶函數(shù)的性質可得函數(shù)在（-1，0）上是增函數(shù)．
同理可證，當0＜a＜1時，函數(shù)在（-1，0）上是減函數(shù)，函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)．
點評：本題主要考查求函數(shù)的定義域的方法，函數(shù)的單調性的定義和證明，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2x-2+ae-x（a∈R）
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-2與曲線y=f（x）在（-∞，0）上有公共點，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+2|lnx-1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）證明：對任意x∈[1，+∞），lnx≥
2(x-1)
x+1
恒成立；
（3）對于函數(shù)f（x）圖象上的不同兩點A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函數(shù)f（x）圖象上存在點M（x0，y0）（其中x0∈（x1，x2））使得點M處的切線l∥AB，則稱直線AB存在“伴侶切線”．特別地，當x0=
x1+x2
2
時，又稱直線AB存在“中值伴侶切線”．試問：當x≥e時，對于函數(shù)f（x）圖象上不同兩點A、B，直線AB是否存在“中值伴侶切線”？證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-bx的圖象在點A（1，f（1））處的切線l與直線x+3y-1=0垂直，若數(shù)列{
1
f(n)
}的前n項和為Sn，則S2012的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=xlnx
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅱ）若直線l過點（0，-1），并且與曲線y=f（x）相切，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
3
x
a
+
3
(a-1)
x
，a≠0且a≠1．
（1）試就實數(shù)a的不同取值，寫出該函數(shù)的單調增區(qū)間；
（2）已知當x＞0時，函數(shù)在（0，
6
）上單調遞減，在（
6
，+∞）上單調遞增，求a的值并寫出函數(shù)的解析式；
（3）記（2）中的函數(shù)圖象為曲線C，試問是否存在經過原點的直線l，使得l為曲線C的對稱軸？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由．

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