Question

研究函數(shù)f（x）=

x+a

x+b

（a＞b）的單調(diào)性，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)f（x）=

x+a

x+b

=

x+b+(a-b)

x+b

=1+

a-b

x+b

．由a＞b，可得a-b＞0．當(dāng)x＞-b時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜-b時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．利用函數(shù)的單調(diào)性的定義即可證明．

解答： 解：函數(shù)f（x）=

x+a

x+b

=

x+b+(a-b)

x+b

=1+

a-b

x+b

．
∵a＞b，∴a-b＞0．
當(dāng)x＞-b時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x＜-b時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
只證明：當(dāng)x＞-b時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
證明：?-b＜x₁＜x₂．則a-b＞0，x₂-x₁＞0，（x₁+b）（x₂+b）＞0．
∴f（x₁）-f（x₂）=1+

a-b

x1+b

-(1+

a-b

x2+b

)=

(a-b)(x2-x1)

(x1+b)(x2+b)

＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂）．
∴當(dāng)x＞-b時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
同理可證，當(dāng)x＜-b時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，考查了變形的能力，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．