Question

5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上．
（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；
（Ⅱ）如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求$\frac{PM}{PD}$的值．

Answer 1

分析 （I）由平行四邊形的性質(zhì)可得AB⊥AC，即EF⊥AC，由面面垂直的性質(zhì)得出PA⊥平面ABCD，故PA⊥EF，故EF⊥平面PAC；
（II）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)$\frac{PM}{PD}$=λ（0≤λ≤1），求出平面PBC，平面ABCD的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$及$\overrightarrow{ME}$的坐標(biāo)，根據(jù)線面角相等列方程解出λ．

解答 （Ⅰ）證明：∵在平行四邊形ABCD中，∠BCD=135°，∴∠ABC=45°，
∵AB=AC，∴AB⊥AC．
∵E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，∴EF∥AB，
∴EF⊥AC．
∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，
∴PA⊥底面ABCD．
又EF?底面ABCD，
∴PA⊥EF．
又∵PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
∴EF⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，∴AP，AB，AC兩兩垂直，
以A為原點(diǎn)，分別以AB，AC，AP為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖：
則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（-2，2，0），E（1，1，0），
∴$\overrightarrow{PB}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{PD}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{BC}=（-2，2，0）$，$\overrightarrow{PE}$=（1，1，-2）．
設(shè)$\frac{PM}{PD}$=λ（0≤λ≤1），則$\overrightarrow{PM}$=（-2λ，2λ，-2λ），
∴$\overrightarrow{ME}$=$\overrightarrow{PE}-\overrightarrow{PM}$=（1+2λ，1-2λ，2λ-2），
顯然平面ABCD的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．    
設(shè)平面PBC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-2x+2y=0\\ 2x-2z=0\end{array}\right.$
令x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{ME}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{ME}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{ME}|}$=$\frac{2λ}{\sqrt{3}|\overrightarrow{ME}|}$，cos＜$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ME}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{ME}|}$=$\frac{2λ-2}{|\overrightarrow{ME}|}$．
∵直線ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，
∴|$\frac{2λ}{\sqrt{3}|\overrightarrow{ME}|}$|=|$\frac{2λ-2}{|\overrightarrow{ME}|}$|，即 $|2λ-2|=|\frac{2λ}{{\sqrt{3}}}|$，
解得$λ=\frac{{3-\sqrt{3}}}{2}$，或$λ=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$（舍）．
∴$\frac{PM}{PD}=\frac{{3-\sqrt{3}}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定，線面角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題．