Question

求下列數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式：
（1）a₁=

1

2

，a_n+1（1+a_n）=a_n；
（2）a₁=1，（n+1）

a

2 n+1

-n

a

2 n

+a_n+1a_n=0；
（3）a₁=1，（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專(zhuān)題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意得a_n+1=

1

1 an +1

，求出a₂，a₃，依次得到規(guī)律，問(wèn)題得以解決；
（2）由題意得a_n+1=

n

n+1

a_n，再由累乘法可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式是a_n．
（3）由點(diǎn)（a_n，a_n+1）都在直線y=2x+1上可得a_n+1=2a_n+1，可化歸為等比數(shù)列解決；

解答： 解：（1）∵a_n+1（1+a_n）=a_n，a₁=

1

2

，
∴a_n+1=

an

1+an

=

1

1 an +1

，
∴a₂=

1

2+1

=

1

3

，
a₃=

1

3+1

=

1

4

，
…
a_n=

1

1+n

，
驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，a₁=

1

2

成立，
故a_n=

1

1+n

，
（2）∵（n+1）a_n+1²-na_n²+a_n+1a_n=0，
∴（n+1）a_n+1=na_n或a_n+1+a_n=0，
∵{a_n}是首項(xiàng)為1的正數(shù)項(xiàng)數(shù)列，
∴（n+1）a_n+1=na_n，
∴a_n+1=

n

n+1

a_n，
∴

an+1

an

=

n

n+1

，
∴

a2

a1

=

1

2

，

a3

a2

=

2

3

，…

an

an-1

=

n-1

n

，
利用累乘法得，

an

a1

=

1

n

，
∴a_n=

1

n

，
（3）因?yàn)辄c(diǎn)P（a_n，a_n+1）在直線y=2x+1上，
所以a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1=2≠0，
∴

an+1+1

an+1

=2
∴數(shù)列{a_n+1}是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
∴a_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，
從而a_n=2ⁿ-1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用和累乘法．求數(shù)列通項(xiàng)公式的一般方法--公式法、累加法、累乘法、構(gòu)造法等要熟練掌握．