已知函數(shù)f(x)=x-
1x

(1)討論并證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)的單調(diào)性;
(2)若對(duì)任意的x∈[1,+∞),f(mx)+mf(x)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)利用單調(diào)性的定義,根據(jù)步驟:取值,作差,變形,定號(hào)下結(jié)論,即可得到結(jié)論;
(2)原不等式等價(jià)于2mx-
1
mx
-
m
x
<0
對(duì)任意的x∈[1,+∞)恒成立,等價(jià)于2mx2-m-
1
m
<0
對(duì)任意的x∈[1,+∞)恒成立,從而可得m<0,且2m-m-
1
m
<0
,進(jìn)而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增
證明:任取0<x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=(x1-
1
x1
)-
(x2-
1
x2
)
=(x1-x2)(1+
1
x1x 2
)
,
∵0<x1<x2
∴x1-x2<0,x1x2>0
(x1-x2)(1+
1
x1x 2
)<0

∴f(x1)<f(x2
所以函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增
(2)原不等式等價(jià)于2mx-
1
mx
-
m
x
<0
對(duì)任意的x∈[1,+∞)恒成立
整理得,2mx2-m-
1
m
<0
對(duì)任意的x∈[1,+∞)恒成立
若m>0,則左邊對(duì)應(yīng)的函數(shù),開口向上,故x∈[1,+∞)時(shí),必有大于0的函數(shù)值
∴m<0,且2m-m-
1
m
<0
,
∴m<0,且
m2-1
m
<0

∴m<-1
點(diǎn)評(píng):本題重點(diǎn)考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)恒成立問題,依據(jù)單調(diào)性的定義,正確轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù),且f(3)<f(5).
(1)求m的值,并確定f(x)的解析式;
(2)若g(x)=loga[f(x)-ax](a>0且a≠1),是否存在實(shí)數(shù)a,使g(x)在區(qū)間[2,3]上的最大值為2,若存在,請(qǐng)求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省東陽(yáng)中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型:022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a,b]上連續(xù)不斷,f1(x)=min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),f2(x)=max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a,b]),其中,min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值,max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值,若存在最小正整數(shù)k,使得f2(x)-f1(x)≤k(x-a)對(duì)任意的x∈[a,b]成立,則稱函數(shù)f(x)為[a,b]上的“k階收縮函數(shù)”.已知函數(shù)f(x)=x2,x∈[-1,4]為[-1,4]上的“k階收縮函數(shù)”,則k的值是_________.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題

已知函數(shù)f(x)、g(x),下列說法正確的是( )
A.f(x)是奇函數(shù),g(x)是奇函數(shù),則f(x)+g(x)是奇函數(shù)
B.f(x)是偶函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)是偶函數(shù)
C.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D.f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)+g(x)可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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