Question

已知f(log2x)=

ax+b

x+ 2

  （a、b∈R，x＞0）
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)a=

2

， b=1時(shí)，判斷并證明f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令log₂x=t（x＞0，t∈R），則x=2^t，利用換元法求解析式；
（2）當(dāng)a=

2

，b=1時(shí)，f（x）=

2 •2x+1

2x+ 2

=

2

-

1

2x+ 2

在R上為增函數(shù)，定義法證明即可．

解答： 解：（1）令log₂x=t（x＞0，t∈R），則x=2^t，
則f(t)=

a×2t+b

2t+ 2

  (t∈R)，
∴f(x)=

a×2x+b

2x+ 2

  (x∈R)；
（2）當(dāng)a=

2

，b=1時(shí)，
f（x）=

2 •2x+1

2x+ 2

=

2

-

1

2x+ 2

；
設(shè)x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=

2

-

1

2x1+ 2

-

2

+

1

2x2+ 2

=

1

2x2+ 2

-

1

2x1+ 2

=

2x1-2x2

(2x1+ 2 )(2x2+ 2 )

∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2；
∴

2x1-2x2

(2x1+ 2 )(2x2+ 2 )

＜0；
∴f（x₁）-f（x₂）＜0；
y=f（x）在R上為增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)解析式的求法及函數(shù)的單調(diào)性的證明，屬于基礎(chǔ)題．