Question

已知F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，動點P滿足|PF₁|+|PF₂|=4，記動點P的軌跡為E．
（1）求E的方程；
（2）曲線E的一條切線為l，過F₁，F(xiàn)₂作l的垂線，垂足分別為M，N，求|F₁M|•|F₂N|的值；
（3）曲線E的一條切線為l，與x軸分別交于A，B兩點，求|AB|的最小值，并求此時切線的斜率．

Answer 1

分析：（1）由題意可知P點軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，2a=4，2c=2

3

，由此能求出E的方程．
（2）當切線斜率不存在時，切線為x=±2，此時|F₁M|•|F₂N|=1．當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y=kx+b，則由題意可知，|F1M|•|F2N|=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1，所以|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，|AB|=

b2 k2 +b2

=

4k2+1 k2 +4k2+1

=

1 k2 +4k2+5

≥

2 1 k2 •4k2 +5

=3，由此可求出AB的最小值為3，此時斜率為±

2

2

．

解答：解：（1）∵|F1F2|=2

3

又∵|PF1|+|PF2|=4＞2

3

∴P點軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，2a=4，2c=2

3

，
故橢圓方程為

x2

4

+y2=1
（2）①當切線斜率不存在時，切線為x=±2，此時|F₁M|•|F₂N|=1．
②當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為y=kx+b，

x2 4 +y2=1 y=kx+b

（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0
△=（8kb）²-4（1+4k²）（4b²-4）=0，
∴b²=4k²+1，|F1M|=

|- 3 k+b|

k2+1

，|F2N|=

| 3 k+b|

k2+1

，|F1M|•|F2N|=

|b2-3k2|

k2+1

=

|4k2+1-3k2|

k2+1

=1，
綜上所述，|F₁M|•|F₂N|=1．
（3）由（2）知，A(-

b

k

，0)，B(0，b)，|AB|=

b2 k2 +b2

=

4k2+1 k2 +4k2+1

=

1 k2 +4k2+5

≥

2 1 k2 •4k2 +5

=3
當且僅當

1

k2

=4k2，即k=±

2

2

時取等號
故AB²的最小值為3，此時斜率為±

2

2

點評：本題綜合考查直線和橢圓的位置關(guān)系，解題時要注意均值不等式的合理運用．