Question

18．已知橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，橢圓C上點A滿足AF₂⊥F₁F₂，若點P是橢圓C上的動點，則$\overrightarrow{{F_1}P}•\overrightarrow{{F_2}A}$的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得點A，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積運(yùn)算法則和點P的縱坐標(biāo)的取值范圍即可得出最大值．

解答 解：由橢圓$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$可得a²=4，b²=3，c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=1，
可得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），
由AF₂⊥F₁F₂，令x=1，可得y=±$\sqrt{3}$•$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=±$\frac{3}{2}$，可設(shè)A（1，$\frac{3}{2}$），
設(shè)P（m，n），則$\frac{{m}^{2}}{4}$+$\frac{{n}^{2}}{3}$=1，
又-$\sqrt{3}$≤n≤$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（m+1，n）•（0，$\frac{3}{2}$）=$\frac{3}{2}$n≤$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
可得$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$的最大值為$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、數(shù)量積運(yùn)算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于基礎(chǔ)題．