Question

3．如圖，三棱錐P-ABC中，PA=PC，AB=BC，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PBC；
（Ⅱ）求證：EF⊥AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角形中位線定理得EF∥PB，由此能證明EF∥平面PBC．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)PO、BO，推導(dǎo)出PO⊥AC，BO⊥AC，從而AC⊥平面PBO，由此能證明EF⊥AC．

解答 證明：（Ⅰ）∵E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)
∴EF∥PB，
∵EF?平面PBC，PB?平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
（Ⅱ）取AC中點(diǎn)O，連結(jié)PO、BO，
∵PA=PC，AB=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，
∵PO∩BO=O，∴AC⊥平面PBO，
∵PB?平面PBO，∴AC⊥PB，
∵EF∥PB，∴EF⊥AC．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．