Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a_n≠0，（n∈N^*）．求證：“{a_n}是常數(shù)列”的充要條件是“{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”．

Answer 1

分析：先證明必要性：若{a_n}是常數(shù)列，且a_n=a≠0，證數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
充分性：若{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則有：

2an+1=an+an+2 an+12= anan+2

，整理可證為常數(shù)

解答：證明：必要性：若{a_n}是常數(shù)列，且a_n≠0，（n∈N^*）．
設(shè)a_n=a≠0（n∈N^*），
顯然數(shù)列{a_n}是以a為首項，以0為公差的等差數(shù)列，且{a_n}是以a為首項，以1為公比的等比數(shù)列．
充分性：若{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則對任意n∈N^*都有：

2an+1=an+an+2 an+12= anan+2

，可得(

an+an+2

2

)2 =anan+2，整理得(an-an+2) 2=0，
∴a_n=a_n+2=a_n+1．∴{a_n}是常數(shù)列．
綜上所述，“{a_n}是非零常數(shù)列”的充要條件是“{a_n}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列”．

點評：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的判斷，充分條件與必要條件的判斷，屬于知識的簡單應(yīng)用．