Question

如圖，設P是拋物線C₁：x²=y上的動點．過點P做圓C₂：x²+（y+3）²=1的兩條切線，交直線l：y=-3于A，B兩點．
（Ⅰ）求C₂的圓心M到拋物線 C₁準線的距離．
（Ⅱ）是否存在點P，使線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先求出拋物線 C₁準線的方程，再利用點到直線距離的求法求出C₂的圓心M到拋物線 C₁準線的距離即可．
（Ⅱ）先設拋物線 C₁在點P處的切線交直線l于點D，線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分即為x_A+x_B=2X_D．設出過點P做圓C₂x²+（y+3）²=1的兩條切線PA，PB，與直線y=-3聯(lián)立，分別求出A，B，D三點的橫坐標，代入x_A+x_B=2X_D．看是否能解出點P，即可判斷出是否存在點P，使線段AB被拋物線C₁在點P處的切線平分．
解答：解：（Ⅰ）因為拋物線 C₁準線的方程為：y=-，
所以圓心M到拋物線 C₁準線的距離為：|--（-3）|=．
（Ⅱ）設點P的坐標為（x，x²），拋物線 C₁在點P處的切線交直線l與點D，
因為：y=x²，所以：y′=2x；
再設A，B，D的橫坐標分別為x_A，x_B，x_D，
∴過點P（x，x²）的拋物線 C₁的切線的斜率k=2x．
過點P（x，x²）的拋物線 C₁的切線方程為：y-x²=2x（x-x）    ①
當 x=1時，過點P（1，1）且與圓C₂相切的切線PA方程為：y-1=（x-1）．可得x_A=-，x_B=1，x_D=-1，x_A+x_B≠2x_D．
當x=-1時，過點P（-1，1）且與圓C₂的相切的切線PB的方程為：y-1=-（x+1）．可得x_A=-1，x_B=，x_D=1，x_A+x_B≠2x_D．
所以x²-1≠0．設切線PA，PB的斜率為k₁，k₂，
則：PA：y-x²=k₁（x-x）   ②
PB：y-x²=k₂（x-x）．③
將y=-3分別代入①，②，③得（x≠0）；；（k₁，k₂≠0）
從而．
又，
即（x²-1）k₁²-2（x²+3）xk₁+（x²+3）²-1=0，
同理（x²-1）k₂²-2（x²+3）xk₂+（x²+3）²-1=0，，
所以k₁，k₂是方程（x²-1）k²-2（x²+3）xk+（x²+3）²-1=0的兩個不等的根，
從而k₁+k₂=，k₁•k₂=，，
因為x_A+x_B=2X_D．．
所以2x-（3+x²）（）=，即=．
從而，
進而得x⁴=8，．
綜上所述，存在點P滿足題意，點P的坐標為（，2）．
點評：本題是對橢圓與拋物線，以及直線與橢圓和拋物線位置關系的綜合考查．在圓錐曲線的三種常見曲線中，拋物線是最容易的，而雙曲線是最復雜的，所以一般出大題時，要么是單獨的橢圓與直線，要么是橢圓與拋物線，直線相結合．這一類型題目，是大題中比較有難度的題．