Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，關于x的方程f（x）=a（x+1）2（a≠1）的根構成集合{1}．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：

f(x)

≤

5 -1

2

|x|+1對任意的x∈[-2，2]恒成立；
（3）設g（x）=

f(x)

+

f(2-x)

若存在x₁，x₂∈[0，2]，使得|g（x₁）-g（x₂）|≥m，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)奇偶性的性質,二次函數(shù)的性質

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由f（-x）=f（x）得x²-bx+c=x²+bx+c，解得b=0，又f（x）=a（x+1）²只有一個根1，即（a-1）x²+2ax+a-c=0只有一個根1，利用判別式即可求出a，c；
（2）根據(jù)偶函數(shù)性質將所證問題等價轉化為

x2+1

≤

5 -1

2

x+1對任意的x∈[0，2]恒成立，構造函數(shù)h（x）=（

5 -1

2

x+1）²-（x²+1），利用二次函數(shù)性質得出（

5 -1

2

x+1）²≥（x²+1）＞0，開方即可得證；
（3）存在x₁，x₂∈[0，2]，使得|g（x₁）-g（x₂）|≥m，等價于|g（x₁）-g（x₂）|_max≥m，由（2）和題目條件可得

f(x)

≥

2

2

(x+1)和

f(x)

≤

5 -1

2

x+1，從而可得2

2

≤g(x)≤

5

+1，因此|g（x₁）-g（x₂）|_max=

5

+1-2

2

，所以可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+bx+c為偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），即x²-bx+c=x²+bx+c，解得b=0；
又f（x）=a（x+1）²只有一個根1，即x²+c=a（x+1）²只有一個根1，
即（a-1）x²+2ax+a-c=0只有一個根1，又a≠1，
∴

△=4a2-4(a-1)(a-c)=0 (a-1)+2a+a-c=0

，解得

a= 1 2 c=1

，
∴a=

1

2

，b=0，c=1．
（2）∵f（x）為偶函數(shù)，
∴

f(x)

≤

5 -1

2

|x|+1對任意的x∈[-2，2]恒成立等價于

f(x)

≤

5 -1

2

|x|+1對任意的x∈[0，2]恒成立，
即

f(x)

≤

5 -1

2

x+1對任意的x∈[0，2]恒成立，
即

x2+1

≤

5 -1

2

x+1對任意的x∈[0，2]恒成立，
令h（x）=（

5 -1

2

x+1）²-（x²+1）=-

5 -1

2

x2+(

5

-1)x
=

5 -1

2

(-x2+2x)，
由二次函數(shù)性質易知在，
在[0，2]上h（x）≥g（0）=g（2）=0，
∴（

5 -1

2

x+1）²≥（x²+1）＞0，
∴即

x2+1

≤

5 -1

2

x+1，
從而問題得證；
（3）由題意可知，|g（x₁）-g（x₂）|_max≥m，
∵f（x）=x²+1≥

1

2

(x+1)2，
∴

f(x)

≥

2

2

(x+1)，
又由（2）得

f(x)

≤

5 -1

2

x+1，
∴

2

2

(x+1)+

2

2

(2-x+1)≤g(x)≤

5 -1

2

x+1+

5 -1

2

(2-x）+1
即2

2

≤g(x)≤

5

+1，
∴|g（x₁）-g（x₂）|_max=

5

+1-2

2

即m≤

5

+1-2

2

∴實數(shù)m的取值范圍是（-∞，

5

+1-2

2

）．

點評：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查函數(shù)奇偶性的應用，數(shù)學的轉化思想方法，屬于壓軸題，難題．