Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b．
（Ⅰ）設(shè)b=a，若|f（x）|在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）求證：存在x₀∈[-1，1]，使|f（x₀）|≥|a|．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）分類討論當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a=4時(shí)，當(dāng)a＞0，a≠4時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，判斷求解．
（Ⅱ）求出|f（1）|=|1+a+b|，|f（-1）|=|1-a+b|，分類當(dāng)1+b≥0，a≥0時(shí)，
當(dāng)1+b＜0，a＜0時(shí)，當(dāng)1+b＜0，a＜0時(shí)，當(dāng)1+b＜0，a＞0時(shí)，判斷大�。�

解答： 解：數(shù)f（x）=x²+ax+b，
（1）∵b=a，
∴f（x）=x²+ax+a，
△=a²-4a，x=-

a

2

為對稱軸，
①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x²，
∴|f（x）|在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，
∴a=0符合題意，
②當(dāng)a=4時(shí)，f（x）=（x+2）²，
∴|f（x）|在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，
∴a=4符合題意，
③當(dāng)a＞0，a≠4時(shí)
f（0）=a＞0，x=-

a

2

＜0，
∴|f（x）|在x∈[0，1]上單調(diào)遞增，
∴a＞0，a≠4，符合題意，
④當(dāng)a＜0時(shí)，△=a²-4a＞0，f（0）=a＜0，
x₀為f（x）=0，的左邊的一個(gè)零點(diǎn)，x₀＜0，
∴|f（x）|在x∈[x₀，-

a

2

]上單調(diào)遞增，
即只需滿足1≤-

a

2

a≤-2
∴a≤-2，符合題意，
綜上a≥0或a≤-2，
（Ⅱ）證明：函數(shù)f（x）=x²+ax+b，
|f（1）|=|1+a+b|，|f（-1）|=|1-a+b|，
∵當(dāng)1+b≥0，a≥0時(shí)，f（1）=|1+a+b|≥|a|，
當(dāng)1+b＞0，a＜0時(shí)，|f（-1）|=|1-a+b|≥|a|，
當(dāng)1+b＜0，a＜0時(shí)，|f（1）|=|1+a+b|≥|a|，
當(dāng)1+b＜0，a＞0時(shí)，|f（-1）|=|1-a+b|≥|a|，
∴存在x₀∈[-1，1]，使|f（x₀）|≥|a|．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式的解法，分類討論，屬于綜合題，有一定的難度．