Question

9．如圖，四邊形ABCD中，AB⊥CD，AD∥BC，AD=3，BC=2AB=2，E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB．現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC．
（Ⅰ）若BE=$\frac{1}{2}$，在折疊后的線段AD上是否存在一點P，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF？若存在，求出λ的值，若不存在，說明理由；
（Ⅱ）求三棱錐A-CDF的體積的最大值，并求此時二面角E-AC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出FD⊥EF，F(xiàn)D⊥AF，以F為坐標原點，分別以FE，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出線段AD上存在點P（0，$\frac{3}{2}，\frac{1}{5}$），$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）設BE=x，則AF=x（0＜x≤2），F(xiàn)D=3-x，推導出當x=$\frac{3}{2}$時，V_A-CDF有最大值，且最大值為$\frac{3}{8}$，求出此時平面AEC的一個法向量和平面ACF的一個法向量，利用向量法能求出二面角E-AC-F的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵平面ABEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC=EF，
FD⊥EF，
∴FD⊥平面ABEF，又AF?平面ABEF，
∴FD⊥AF，
在折起過程中，AF⊥EF，同時FD∩EF=F，
∴AF⊥平面EFDC，
以F為坐標原點，分別以FE，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
當BE=$\frac{1}{2}$時，F(xiàn)（0，0，0），A（0，0，$\frac{1}{2}$），D（0，$\frac{5}{2}$，0），C（1，$\frac{3}{2}$，0），
平面ABEF的法向量$\overrightarrow{FD}$=（0，$\frac{5}{2}$，0），
∵$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{PD}$，∴$\overrightarrow{FP}$=$\frac{1}{1+λ}\overrightarrow{FA}$+$\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{FD}$=$\frac{1}{1+λ}（0，0，\frac{1}{2}）+\frac{λ}{1+λ}（0，\frac{5}{2}，0）$，
∴P（0，$\frac{5λ}{2+2λ}$，$\frac{1}{2+2λ}$），
∴$\overrightarrow{CP}$=（-1，$\frac{2λ-3}{2+2λ}$，$\frac{1}{2+2λ}$），
∵CP∥平面ABEF，∴$\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{FD}$=$\frac{5（2λ-3）}{2（2+2λ）}$=0，
解得$λ=\frac{3}{2}$，
∴線段AD上點P（0，$\frac{3}{2}，\frac{1}{5}$），且$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD}$，使得CP∥平面ABEF．
（Ⅱ）設BE=x，則AF=x（0＜x≤2），F(xiàn)D=3-x，
∴V_A-CDF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×x×（3-x）$=$\frac{1}{6}x（3-x）$=-$\frac{1}{6}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{3}{8}$，
∴當x=$\frac{3}{2}$時，V_A-CDF有最大值，且最大值為$\frac{3}{8}$，
∴A（0，0，$\frac{3}{2}$），C（1，$\frac{1}{2}$，0），D（0，$\frac{3}{2}$，0），E（1，0，0），
∴$\overrightarrow{AE}$=（1，0，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\frac{1}{2}$，-$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FA}$=（0，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{FC}$=（1，$\frac{1}{2}$，0），
設平面AEC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x+y-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2x-3z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{m}$=（3，0，2），
設平面ACF的一個法向量$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=\frac{3}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，0），
cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．
∴二面角E-AC-F的余弦值為$\frac{3\sqrt{65}}{65}$．

點評 本題考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．