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9.如圖,四邊形ABCD中,AB⊥CD,AD∥BC,AD=3,BC=2AB=2,E,F(xiàn)分別在BC,AD上,EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起,使平面ABEF⊥平面EFDC.
(Ⅰ)若BE=12,在折疊后的線段AD上是否存在一點P,且\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PD},使得CP∥平面ABEF?若存在,求出λ的值,若不存在,說明理由;
(Ⅱ)求三棱錐A-CDF的體積的最大值,并求此時二面角E-AC-F的余弦值.

分析 (Ⅰ)推導出FD⊥EF,F(xiàn)D⊥AF,以F為坐標原點,分別以FE,F(xiàn)D,F(xiàn)A所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,利用向量法能求出線段AD上存在點P(0,\frac{3}{2},\frac{1}{5}),\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD},使得CP∥平面ABEF.
(Ⅱ)設BE=x,則AF=x(0<x≤2),F(xiàn)D=3-x,推導出當x=\frac{3}{2}時,VA-CDF有最大值,且最大值為\frac{3}{8},求出此時平面AEC的一個法向量和平面ACF的一個法向量,利用向量法能求出二面角E-AC-F的余弦值.

解答 解:(Ⅰ)∵平面ABEF⊥平面EFDC,平面ABEF∩平面EFDC=EF,
FD⊥EF,
∴FD⊥平面ABEF,又AF?平面ABEF,
∴FD⊥AF,
在折起過程中,AF⊥EF,同時FD∩EF=F,
∴AF⊥平面EFDC,
以F為坐標原點,分別以FE,F(xiàn)D,F(xiàn)A所在直線為x,y,z軸,建立空間直角坐標系,
當BE=\frac{1}{2}時,F(xiàn)(0,0,0),A(0,0,\frac{1}{2}),D(0,\frac{5}{2},0),C(1,\frac{3}{2},0),
平面ABEF的法向量\overrightarrow{FD}=(0,\frac{5}{2},0),
\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PD},∴\overrightarrow{FP}=\frac{1}{1+λ}\overrightarrow{FA}+\frac{λ}{1+λ}\overrightarrow{FD}=\frac{1}{1+λ}(0,0,\frac{1}{2})+\frac{λ}{1+λ}(0,\frac{5}{2},0)
∴P(0,\frac{5λ}{2+2λ},\frac{1}{2+2λ}),
\overrightarrow{CP}=(-1,\frac{2λ-3}{2+2λ}\frac{1}{2+2λ}),
∵CP∥平面ABEF,∴\overrightarrow{CP}•\overrightarrow{FD}=\frac{5(2λ-3)}{2(2+2λ)}=0,
解得λ=\frac{3}{2},
∴線段AD上點P(0,\frac{3}{2},\frac{1}{5}),且\overrightarrow{AP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{PD},使得CP∥平面ABEF.
(Ⅱ)設BE=x,則AF=x(0<x≤2),F(xiàn)D=3-x,
∴VA-CDF=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×x×(3-x)=\frac{1}{6}x(3-x)=-\frac{1}{6}(x-\frac{3}{2}2+\frac{3}{8},
∴當x=\frac{3}{2}時,VA-CDF有最大值,且最大值為\frac{3}{8},
∴A(0,0,\frac{3}{2}),C(1,\frac{1}{2},0),D(0,\frac{3}{2},0),E(1,0,0),
\overrightarrow{AE}=(1,0,-\frac{3}{2}),\overrightarrow{AC}=(1,\frac{1}{2},-\frac{3}{2}),\overrightarrow{FA}=(0,0,\frac{3}{2}),\overrightarrow{FC}=(1,\frac{1}{2},0),
設平面AEC的一個法向量為\overrightarrow{m}=(x,y,z),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AC}=2x+y-3z=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=2x-3z=0}\end{array}\right.,取x=3,得\overrightarrow{m}=(3,0,2),
設平面ACF的一個法向量\overrightarrow{n}=(a,b,c),
\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FA}=\frac{3}{2}c=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{FC}=a+\frac{1}{2}b=0}\end{array}\right.,取a=1,得\overrightarrow{n}=(1,-2,0),
cos<\overrightarrow{m}\overrightarrow{n}>=\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}=\frac{3}{\sqrt{13}×\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{65}}{65}
∴二面角E-AC-F的余弦值為\frac{3\sqrt{65}}{65}

點評 本題考查滿足線面平行的點是否存在的判斷與求法,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意向量法的合理運用.

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