Question

函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f(

1

2

)=

2

5

．
（1）確定函數(shù)f（x）的解析式；
（2）試判斷f（x）在（-1，1）的單調(diào)性，并予以證明；
（3）若f（t-1）+f（t）＜0，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，f（-x）=-f（x），代入可求b，然后由f(

1

2

)=

2

5

可求a，進(jìn)而可求函數(shù)解析式
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

，結(jié)合已知x的范圍判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)即可判斷函數(shù)f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性
（3）由已知可得f（t-1）＜-f（t）=f（-t），結(jié)合函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞增可求t的范圍

解答：（1）解：∵函數(shù)f(x)=

ax+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x）
即

-ax+b

1+(-x)2

=-

ax+b

1+x2

∴-ax+b=-ax-b
∴b=0
∵f(

1

2

)=

2

5

∴

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

∴a=1
∴f(x)=

x

1+x2

（2）證明：∵f′（x）=

1-x2

(1+x2)2

∵-1＜x＜1時(shí)，

1-x2

(1+x2)2

＞0
∴f（x）在（-1，1）上是增函數(shù)
（沒有學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的也可利用函數(shù)的單調(diào)性的定義）
（3）解：∵f（t-1）+f（t）＜0，且函數(shù)為奇函數(shù)
∴f（t-1）＜-f（t）=f（-t），
由（2）知函數(shù)在（-1，1）上單調(diào)遞增
∴-1＜t-1＜-t＜1
∴0＜t＜

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了奇函數(shù)的定義的應(yīng)用及待定系數(shù)求解函數(shù)的解析式，及函數(shù)的單調(diào)性在不等式的求解中的應(yīng)用