已知a>0且a≠1,數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a,公比也為a的等比數(shù)列,設(shè)bn=anlgan,問是否存在a,對任意自然數(shù)n,數(shù)列{bn}中的每一項(xiàng)總小于它后面的所有的項(xiàng)?若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.

解:對任意自然數(shù)n,要使{bn}中的每一項(xiàng)總小于它后面所有的項(xiàng)的充要條件是bn<bn+1對一切n∈N均成立.

    由已知an=an,bn=anlgan=anlgan=nanlga,bn+1=(n+1)·an+1lga,則

bn+1-bn=[(n+1)a-n]·anlga.

①當(dāng)a>1時,lga>0,an>0,(n+1)a-n>(n+1)-n>0,∴當(dāng)a>1時,bn<bn+1對一切n∈N成立;

②當(dāng)0<a<1時,lga<0,bn+1-bn>0對一切n∈N

    成立,當(dāng)且僅當(dāng)(n+1)a-n<0對一切n∈N成立,即a<(n∈N),而,故只要a<即可.

    綜上所述,存在實(shí)數(shù)a∈(0,)∪(1,+∞),使{bn}中的任一項(xiàng)都小于它后面的所有項(xiàng).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0且a≠1,設(shè)p:函數(shù)y=ax在R上單調(diào)遞增,q:設(shè)函數(shù)y=
2x-2a,(x≥2a)
2a,(x<2a)
,函數(shù)y≥1恒成立,若p∧q為假,p∨q為真,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•普陀區(qū)二模)已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程F(x)-m=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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已知a>0且a≠1,則使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解時的k的取值范圍為
(-∞,-1)∪(0,1)
(-∞,-1)∪(0,1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)試討論函數(shù)F(x)在定義域D上的單調(diào)性;
(3)若關(guān)于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)僅有一解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:普陀區(qū)二模 題型:解答題

已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
1
1-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點(diǎn);
(2)若關(guān)于x的方程F(x)-m=0在區(qū)間[0,1)內(nèi)有解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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