Question

20．已知數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且4a₁為a_m，a_n的等比中項(xiàng)，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$的最小值為（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{25}{6}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且4a₁為a_m，a_n的等比中項(xiàng)，可得$16{a}_{1}^{2}$=a_m•a_n，化簡(jiǎn)可得m+n=6．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，且4a₁為a_m，a_n的等比中項(xiàng)，
∴$16{a}_{1}^{2}$=a_m•a_n=${a}_{1}^{2}{2}^{m+n-2}$，
∴16=2^m+n-2，
∴m+n=6．
則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{4}{n}）$≥$\frac{1}{6}（5+\frac{n}{m}+\frac{4m}{n}）$≥$\frac{1}{6}（5+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{4m}{n}}）$=$\frac{3}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)n=2m=4時(shí)取等號(hào)．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．