Question

設(shè)函數(shù)f（）=，且方程的兩個根分別為1,4.

（1）當(dāng)＝3且曲線y＝f（x）過原點時，求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在（－∞，＋∞）內(nèi)無極值點，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）f（x）＝x3－3x2＋12x；（2）[1,9]

【解析】

試題分析：（1）方程的兩個根分別為1,4可知關(guān)于a、b、c的兩個方程，又a=3，解得b=-3，c=12，而曲線過原點，所以d=0，所以解析式為f（x）＝x3－3x2＋12x，（2）由于a>0，所以“f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞）內(nèi)無極值點”等價于“f′（x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）內(nèi)恒成立”，因此a>0,,解得a∈[1,9].

試題解析：由f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d得f′（x）＝ax2＋2bx＋c

∵f′（x）－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根為1,4.

∴（*）

（1）當(dāng)a＝3時，由（*）式得，解得b＝－3，c＝12.

又∵曲線y＝f（x）過原點，∴d＝0.

故f（x）＝x3－3x2＋12x.

（2）由于a>0，所以“f（x）＝x3＋bx2＋cx＋d在（－∞，＋∞）內(nèi)無極值點”等價于“f′（x）＝ax2＋2bx＋c≥0在（－∞，＋∞）內(nèi)恒成立”，

由（*）式得2b＝9－5a，c＝4a.

又∵Δ＝（2b）2－4ac＝9（a－1）（a－9）

解，得a∈[1,9]，

即a的取值范圍為[1,9]．

考點：1.函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用；2.不等式恒成立問題