Question

拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（4，4），焦點為F；
（1）求拋物線的焦點坐標(biāo)和標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）P是拋物線上一動點，M是PF的中點，求M的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）拋物線頂點在原點，焦點在x軸上，且過點（4，4），
設(shè)拋物線解析式為y²=2px，把（4，4）代入，得，16=2×4p，∴p=2
∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為：y²=4x，焦點坐標(biāo)為F（1，0）
（2）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），F(xiàn)（1，0），M是PF的中點
則x₀+1=2x，0+y₀=2 y
∴x₀=2x-1，y₀=2 y
∵P是拋物線上一動點，∴y₀²=4x₀
∴（2y）²=4（2x-1），化簡得，y²=2x-1．
∴M的軌跡方程為 y²=2x-1．
分析：（1）先設(shè)出拋物線方程，因為拋物線過點（4，4），所以點（4，4）的坐標(biāo)滿足拋物線方程，就可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到拋物線的焦點坐標(biāo)．
（2）利用相關(guān)點法求PF中點M的軌跡方程，先設(shè)出M點的坐標(biāo)為（x，y），P點坐標(biāo)為（x₀，y₀），把P點坐標(biāo)用M點的坐標(biāo)表示，再代入P點滿足的方程，化簡即可得到m點的軌跡方程．
點評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，以及相關(guān)點法求軌跡方程，屬于解析幾何的常規(guī)題．