Question

11．雙曲線C的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，P為C的右支上動點(diǎn)（非頂點(diǎn)），I為△F₁PF₂的內(nèi)心．當(dāng)P變化時，I的軌跡為（　�。�

• A． 雙曲線的一部分
• B． 橢圓的一部分
• C． 直線的一部分
• D． 無法確定

Answer 1

分析 將內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化成圓與橫軸切點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，PF₁-PF₂=F₁Q-F₂Q=2a，F(xiàn)₁Q+F₂Q=F₁F₂解出OQ，可得結(jié)論．

解答 解：如圖設(shè)切點(diǎn)分別為M，N，Q，則△PF₁F₂的內(nèi)切圓的圓心的橫坐標(biāo)與Q橫坐標(biāo)相同．
由雙曲線的定義，PF₁-PF₂=2a=4．
由圓的切線性質(zhì)PF₁-PF₂=F_IM-F₂N=F₁Q-F₂Q=2a，
∵F₁Q+F₂Q=F₁F₂=2c，
∴F₁Q=a+c，F(xiàn)₂Q=c-a，
∴OQ=F₁F₂-QF₂=c-（c-a）=a．
∴△F₁PF₂內(nèi)切圓與x軸的切點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0），
∴當(dāng)P變化時，I的軌跡為直線的一部分．
故選C．

點(diǎn)評 本題巧妙地借助于圓的切線的性質(zhì)，強(qiáng)調(diào)了雙曲線的定義．