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1.已知函數(shù)f(x)=2cosωx(asinωx+3cosωx)-3(a,ω>0)的最大值為2,f(x)的兩個零點之間距離的最小值為\frac{π}{2}
(1)求f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若銳角B滿足f(B)=0,b=2\sqrt{3},S△ABC=2\sqrt{3},求△ABC的周長.

分析 (1)化簡f(x),利用f(x)的最大值求出a的值,再利用f(x)兩個零點之間距離的最小值求出ω的值即可;
(2)根據(jù)銳角B滿足f(B)=0,求出B的值;再利用余弦定理以及正弦定理的推論求出a+c的值,即得△ABC的周長.

解答 解:(1)∵f(x)=2cosωx(asinωx+\sqrt{3}cosωx)-\sqrt{3}
=2asinωxcosωx+2\sqrt{3}cos2ωx-\sqrt{3}
=asin2ωx+\sqrt{3}cos2ωx,
f(x)的最大值為2,
\sqrt{{a}^{2}{+(\sqrt{3})}^{2}}=2,解得a=1;
又f(x)的兩個零點之間距離最小值為\frac{π}{2},
∴T=\frac{2π}{2ω}=π,解得ω=1,
∴f(x)=sin2x+\sqrt{3}cos2x=2sin(2x+\frac{π}{3});
(2)在△ABC中,銳角B滿足f(B)=0,
即2sin(2B+\frac{π}{3})=0,
∴2B+\frac{π}{3}=π,解得B=\frac{π}{3};
又b=2\sqrt{3},
∴b2=a2+c2-2accosB,
即12=a2+c2-ac①;
又S△ABC=2\sqrt{3},
\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}ac•\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}
得ac=8②,
由①②得(a+c)2=a2+c2+2ac=20+16=36,
∴a+c=6,
∴a+b+c=6+2\sqrt{3},
即△ABC的周長為6+2\sqrt{3}

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象以及正弦、余弦定理的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

練習(xí)冊系列答案
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