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1.已知函數(shù)f(x)=2cosωx(asinωx+3cosωx)-3(a,ω>0)的最大值為2,f(x)的兩個零點之間距離的最小值為π2
(1)求f(x)的解析式;
(2)在△ABC中,a,b,c分別是三個內(nèi)角A,B,C的對邊,若銳角B滿足f(B)=0,b=23,S△ABC=23,求△ABC的周長.

分析 (1)化簡f(x),利用f(x)的最大值求出a的值,再利用f(x)兩個零點之間距離的最小值求出ω的值即可;
(2)根據(jù)銳角B滿足f(B)=0,求出B的值;再利用余弦定理以及正弦定理的推論求出a+c的值,即得△ABC的周長.

解答 解:(1)∵f(x)=2cosωx(asinωx+3cosωx)-3
=2asinωxcosωx+23cos2ωx-3
=asin2ωx+3cos2ωx,
f(x)的最大值為2,
a2+32=2,解得a=1;
又f(x)的兩個零點之間距離最小值為π2,
∴T=2π2ω=π,解得ω=1,
∴f(x)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+π3);
(2)在△ABC中,銳角B滿足f(B)=0,
即2sin(2B+π3)=0,
∴2B+π3=π,解得B=π3;
又b=23,
∴b2=a2+c2-2accosB,
即12=a2+c2-ac①;
又S△ABC=23,
12acsinB=12ac•32=23
得ac=8②,
由①②得(a+c)2=a2+c2+2ac=20+16=36,
∴a+c=6,
∴a+b+c=6+23,
即△ABC的周長為6+23

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象以及正弦、余弦定理的應(yīng)用問題,是綜合性題目.

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