Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，F(xiàn)，H分別為棱CC₁，AA₁的中點，O為AC與BD的交點．
（1）平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）A₁O⊥平面BDF；
（3）平面A₁BD⊥平面BDF．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,平面與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定

專題：作圖題,證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取DD₁的中點M，連結(jié)AM；從而證明HD₁∥平面BDF，再證明B₁H∥平面BDF，從而證明平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）連結(jié)OF，A₁F，設(shè)正方體的棱長為a；則由勾股定理可證A₁O⊥OF，再由BD⊥A₁O可證A₁O⊥平面BDF；
（3）由A₁O⊥平面BDF，A₁O?平面A₁BD可證平面A₁BD⊥平面BDF．

解答： 證明：（1）取DD₁的中點M，連結(jié)AM；
∵MF∥AB，MF=AB，
∴四邊形ABFM是平行四邊形，
∴AM∥BF，
又∵HD₁∥AM，
∴HD₁∥BF，
∴HD₁∥平面BDF，
同理可證，B₁H∥平面BDF，
又∵B₁H∩HD₁=H，
∴平面BDF∥平面B₁D₁H；
（2）連結(jié)OF，A₁F，設(shè)正方體的棱長為a；
則A₁O²=a²+

1

2

a²=

3

2

a²，OF²=

1

4

a²+

1

2

a²=

3

4

a²；
A₁F²=2a²+

1

4

a²=

9

4

a²，
故A₁O⊥OF，
又∵BD⊥平面A₁C₁CA，A₁O?平面A₁C₁CA，
∴BD⊥A₁O，OF?平面BDF，BD?平面BDF
∴A₁O⊥平面BDF；
（3）∵A₁O⊥平面BDF，A₁O?平面A₁BD，
∴平面A₁BD⊥平面BDF．

點評：本題考查了面面平行的證明及線面、面面垂直的證明，注意作輔助線，屬于中檔題．