Question

3．若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意正整數(shù)n都有2a_n-S_n=4．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=（-1）ⁿ•$\frac{2n+3}{{{log}_{2}a}_{n}{{•log}_{2}a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）利用“裂項(xiàng)求和”、分類討論方法即可得出．

解答 解：（1）∵對(duì)任意正整數(shù)n都有2a_n-S_n=4，
∴2a₁-a₁=4，解得a₁=4；
當(dāng)n≥2時(shí)，2a_n-1-S_n-1=4，可得：2a_n-2a_n-1-a_n=0，化為a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2，
∴a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹．
（2）b_n=（-1）ⁿ•$\frac{2n+3}{{{log}_{2}a}_{n}{{•log}_{2}a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ$•\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$=（-1）ⁿ$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$，
∴當(dāng)n=2k（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=T_2k=$-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-…+$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=-$\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$=$\frac{-n}{2n+4}$．
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=T_2k-1=$-（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）$+$（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）$-…-$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=-$\frac{n+4}{2n+4}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-n}{2n+4}，n為偶數(shù)}\\{-\frac{n+4}{2n+4}，n為奇數(shù)}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“裂項(xiàng)求和”方法、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．