設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
分析：（Ⅰ）先求出矩陣M，然后利用特征多項式建立方程求出它的特征值，最后分別求出特征值所對應的特征向量；
（Ⅱ）先求出矩陣M的逆矩陣，然后利用點在矩陣M-1的作用下的點的坐標，化簡代入橢圓方程求出新的曲線方程．
解答：解：（Ⅰ）由條件得矩陣M=
20
03
，
利用特征多項式求出它的特征值為2和3，
對應的特征向量為
1
0
及
0
1
；
（Ⅱ）M-1=
1
2
0
0
1
3
，
橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程為x2+y2=1．
點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算，以及逆變換與逆矩陣，屬于基礎題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．
A、如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=BE，E在BC上．求證：PE是⊙O的切線．
B、設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
C、已知某圓的極坐標方程為：ρ2-4
2
ρcos(θ-
π
4
)+6=0．
（Ⅰ）將極坐標方程化為普通方程；并選擇恰當?shù)膮?shù)寫出它的參數(shù)方程；
（Ⅱ）若點P（x，y）在該圓上，求x+y的最大值和最小值．
D、若關于x的不等式|x+2|+|x-1|≥a的解集為R，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換． 求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數(shù)方程）
以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為（4，
π
2
），若直線l過點P，且傾斜角為 
π
3
，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）求直線l關于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關系．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【選修4-2　矩陣與變換】
設M是把坐標平面上的點P（1，1），Q（2，-1）分別變換成點P1（2，3），Q1（4，-3）．
（Ⅰ）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（Ⅱ）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標伸長為原來的3倍的伸壓變換，則圓x2+y2=1在M的作用下的新曲線的方程是
x2
16
+
y2
9
=1
x2
16
+
y2
9
=1
．

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