分析 (Ⅰ)通過2Sn+an=n2+2n+2與2Sn-1+an-1=(n-1)2+2(n-1)+2作差,進(jìn)而整理可知3an-3n=an-1-(n-1),計(jì)算即得結(jié)論;
(Ⅱ)通過(I)可知n(an-n)=2n•13n,進(jìn)而利用錯(cuò)位相減法計(jì)算、放縮即得結(jié)論.
解答 證明:(Ⅰ)∵2Sn+an=n2+2n+2,
∴當(dāng)n≥2時(shí),2Sn-1+an-1=(n-1)2+2(n-1)+2,
兩式相減得:2an+an-an-1=2n+1,即3an=an-1+2n+1,
變形得:3an-3n=an-1-(n-1),
∴數(shù)列{an-n}是公比為13的等比數(shù)列,
又∵2S1+a1=12+2+2,即a1=53,a1-1=23,
∴an-n=23•13n−1=2•13n,
∴an=n+2•13n;
(Ⅱ)由(I)可知n(an-n)=2n•13n,
∴Tn=2•1•13+2•2•132+2•3•133+…+2n•13n,
13Tn=2•1•132+2•2•133+…+2(n-1)•13n+2n•13n+1,
兩式相減得:23Tn=2(13+132+133+…+13n)-2n•13n+1,
∴Tn=1+13+132+133+…+13n−1-n•13n
=1−13n1−13-n•13n
=32-(n+32)•13n
<32.
點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和,考查錯(cuò)位相減法,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
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A. | f(x)=2x | B. | f(x)=x2 | C. | f(x)=2x | D. | f(x)=log2x+3 |
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A. | “?x≥1,x2<1” | B. | “?x<1,x2≥1” | C. | “?x0<1,x2≥1” | D. | “?x0≥1,x2<1” |
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