Question

過點M（3，1），作圓（x-2）²+（y-3）²=1的兩條切線，切點為A、B
（1）求兩切線MA、MB的方程；
（2）求線段AB的長度．

Answer 1

考點：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線和圓相切，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離等于半徑即可求直線MA、MB的方程；
（2）根據(jù)條件求出切點A的坐標，求直線AB的方程，利用弦長公式進行求解即可．

解答： 解：（1）由圓的標準方程得圓心坐標為C（2，3），半徑R=1，
若切線斜率k不存在，則直線方程為x=3，
此時圓心到直線的距離d=3-2=1，滿足直線和圓相切．
當切線斜率k存在時，設(shè)過M點的圓的切線方程為y+1=k（x-3）．即kx-y-3k-1=0．∵圓心C（2，3）到直線的距離為1．
即

|2k-3-3k-1|

1+k2

=

|k+4|

1+k2

=1，
∴k=-

15

8

．
∴所求的切線方程為y+1=-

15

8

（x-3）或x=3，
即15x+8y-37=0或x=3．
（2）由圖象可知A（3，3），
CM的斜率k=

3-1

2-3

=-2，
則弦AB的斜率k=

1

2

，
則AB的方程為y-3=

1

2

（x-3），
即x-2y+3=0，
圓心C（2，3）到直線x-2y+3=0的距離d=

|2-6+3|

1+22

=

1

5

，
則線段AB的長度為2

R2-d2

=2

1- 1 5

=2

4 5

=

4 5

5

．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用直線和圓相切的等價條件是解決本題的關(guān)鍵．