Question

已知α、β為一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角，下列四個(gè)不等式中錯(cuò)誤的是

④

．
①tanαtanβ＜1；         ②sinα+sinβ＜

2

；
③cosα+cosβ＞1；       ④

1

2

tan(α+β)＜tan

α+β

2

．

Answer 1

分析：可利用α+β＜90°，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一分析．
①項(xiàng)中tanαtanβ＜tanαtan（90°-α），②項(xiàng)中sinα+sinβ＜sinα+sin（90°-α）=sinα+cosα，③項(xiàng)cosα+cosβ＞cosα+cos（90°-α）通過兩角和公式分析均正確．④項(xiàng)舉α=30°，β=30°分析知結(jié)論不成立

解答：解：因?yàn)閷?duì)于鈍角三角形，必定有α+β＜90°，所以
對(duì)于①．tanαtanβ＜tanαtan（90°-α）=tanαcotα=1，故①對(duì)．
對(duì)于②．∵α+β＜90°，∴0⁰＜β＜90°-α＜90°⇒sinβ＜sin（90°-α）
∴sinα+sinβ＜sinα+sin（90°-α）=sinα+cosα=

2

sin（α+45°）≤

2

，
即  sinα+sinβ＜

2

成立；故②對(duì)．
對(duì)于③．cosα+cosβ＞cosα+cos（90°-α）=cosα+sinα=

2

sin（α+45°）
而0⁰＜α＜90°⇒45°＜α+45°＜135°⇒sin（α+45°）＞

2

2

⇒cosα+cosβ＞

2

sin（α+45°）＞1，故③對(duì)．
對(duì)于④．舉個(gè)例子，假如α=30°，β=30°，則

1

2

×tan（α+β）=

1

2

×tan60°=

1

2

×

3

=

3

2

；而tan

α+β

2

=tan30°=

3

3

比

3

2

小，故等式不成立．即④不成立．
故答案為：④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換應(yīng)用．要熟練掌握如角的變換法、化弦法、降冪法等常用的方法．解決本題的關(guān)鍵在于利用好α、β為一個(gè)鈍角三角形的兩個(gè)銳角這一條件．