Question

已知函數(shù)f(x)=ax-

a

x

-2lnx（a≥0）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)是否存在極值？若存在，求出極值，若不存在，說(shuō)明理由；
（2）若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=x-

1

x

-2lnx（x＞0），知f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

≥0，由此能判斷f（x）在在其定義域內(nèi)是否存在極值．
（2）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f(x)=x-

1

x

-2lnx（x＞0），
∴f′(x)=1+

1

x2

-

2

x

=

x2-2x+1

x2

≥0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（x）無(wú)極值．
（2）f′(x)=a+

a

x2

-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

，
①a=0時(shí)，f′(x)=-

2

x

＜0，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減；
②a＞0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上只可能單調(diào)遞增，
∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，
即ax²-2x+a≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥

2x

x2+1

在（0，+∞）上恒成立，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，

2x

x2+1

≤1，
∴a≥1．
綜合上述a的取值范圍是[1，+∞）∪{0}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的極值是否存在，考查函數(shù)的單調(diào)性的靈活運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．