Question

17．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{8π}{3}}\\{y=-4+tsin\frac{8π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-3ρ-4=0（ρ≥0）．
（1）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)系方程；
（2）設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點，求∠AOB的值．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{8π}{3}}\\{y=-4+tsin\frac{8π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），化為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，消去t可得直線l的普通方程．曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-3ρ-4=0（ρ≥0），解得ρ=4．把ρ²=x²+y²代入可得曲線C的極坐標(biāo)方程．
（2）⊙Cd的圓心（0，0）到直線l的距離d=2．可得cos$\frac{1}{2}∠AOB$=$\frac{1}{2}$，進而得出答案．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=tcos\frac{8π}{3}}\\{y=-4+tsin\frac{8π}{3}}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
化為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=-4+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
消去t可得直線l的普通方程：$\sqrt{3}$x+y-4=0．
曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ²-3ρ-4=0（ρ≥0），
解得ρ=4．
可得曲線C的直角坐標(biāo)方程：x²+y²=16．
（2）⊙Cd的圓心（0，0）到直線l的距離d=$\frac{4}{2}$=2．
∴cos$\frac{1}{2}∠AOB$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∵$0＜\frac{1}{2}∠AOB＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{π}{3}$，
可得∠AOB=$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查了直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化、參數(shù)方程化為普通方程、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．